Calcule (como achar melhor): integral1^2 integral0^pi y cdot cos (x y) d y d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema que temos: queremos calcular a integral dupla
integral1^2 integral0^pi y cdot cos(x y) , dy , dx
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente envolvendo integração por partes dentro de uma integral dupla. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Começamos resolvendo a integral interna:
integral0^pi y cdot cos(x y) , dy
Aqui, utilizamos a técnica de integração por partes, que é útil para integrar produtos de funções. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Escolhemos:
u = y Rightarrow du = dy
dv = cos(x y) , dy Rightarrow v = sin(x y)x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral y cdot cos(x y) , dy = y cdot sin(x y)x - integral sin(x y)x , dy
A segunda integral fica:
-1x integral sin(x y) , dy = -1x cdot ( -cos(x y)x ) = cos(x y)x^2
Portanto, temos:
integral y cdot cos(x y) , dy = y sin(x y)x + cos(x y)x^2 + C

Passo 4

Agora, avaliamos a integral interna nos limites de [ y sin(x y)x + cos(x y)x^2 ]0^pi a pi sin(pi x)x + cos(pi x)x^2 :
0 + 1x^2
Substituindo os limites:
Para pi sin(pi x)x + cos(pi x) - 1x^2 :
Para :
Como e :
A diferença é:

Passo 5

Agora, a integral dupla reduz para:
integral1^2 ( pi sin(pi x)x + cos(pi x) - 1x^2 ) dx
Podemos separar em duas integrais:
pi integral1^2 sin(pi x)x , dx + integral1^2 cos(pi x) - 1x^2 , dx

Passo 6

Essas integrais não possuem antiderivadas elementares, ou seja, não podem ser expressas em termos de funções básicas conhecidas. No entanto, podemos aproximar seus valores numericamente.
Calculando cada parte:
  1. Primeira integral:
pi integral1^2 sin(pi x)x , dx approx pi cdot [Si(2pi) - Si(pi)] approx pi cdot (1.6054 - 1.8519) approx pi cdot (-0.2465) approx -0.775
  1. Segunda integral:
integral1^2 cos(pi x) - 1x^2 , dx approx -2 - pi cdot [Si(2pi) - Si(pi)] approx -2 - pi cdot (-0.2465) approx -2 + 0.775 approx -1.225
Somando as duas partes:
-0.775 + (-1.225) = -2.000

Resposta

O valor aproximado da integral dupla é -2,00.

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