Calcule (como achar melhor):
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema que temos: queremos calcular a integral dupla
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente envolvendo integração por partes dentro de uma integral dupla. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Começamos resolvendo a integral interna:
Aqui, utilizamos a técnica de integração por partes, que é útil para integrar produtos de funções. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos:
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
A segunda integral fica:
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, avaliamos a integral interna nos limites de
a
:
Substituindo os limites:
Para
:
Para
:
Como
e
:
A diferença é:
Passo 5
Agora, a integral dupla reduz para:
Podemos separar em duas integrais:
Passo 6
Essas integrais não possuem antiderivadas elementares, ou seja, não podem ser expressas em termos de funções básicas conhecidas. No entanto, podemos aproximar seus valores numericamente.
Calculando cada parte:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Somando as duas partes:
Resposta
O valor aproximado da integral dupla é -2,00.
Exercícios relacionados
Consideremos uma parede com as seguintes propriedades:
Qual é a taxa de transferência de calor através da parede quando
e
?
OBS: Das questões 7 a 15, o assunto é Porcentagem
15) Quanto é de
?
15) Quanto é
Calcule
, onde
e
.
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.
Determine o ponto da curva
situado a menor distância da origem.