Calcule integral duplaR(x^2+y^2) dxdy, onde R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raiz1-x^2.
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! A gente precisa calcular a integral de sobre a região , onde é definido por e . Vamos fazer isso de duas maneiras: primeiro, sem usar coordenadas polares, e depois usando coordenadas polares.

Parte (a): Sem utilizar a mudança para coordenadas polares

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Os limites para são de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 0 até . Isso descreve um quarto de círculo com raio 1, no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla na ordem integral duplaR (x^2 + y^2) , dx , dy = integral0^1 integral0^raiz1 - x^2 (x^2 + y^2) , dy , dx :

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é com relação a integral0^raiz1 - x^2 (x^2 + y^2) , dy = x^2 integral0^raiz1 - x^2 dy + integral0^raiz1 - x^2 y^2 , dy :
x^2 integral dy = x^2 y |0^raiz1 - x^2 = x^2 raiz1 - x^2
Calculando cada parte:
integral y^2 , dy = y^33 |0^raiz1 - x^2 = (raiz1 - x^2)^33 = (1 - x^2)^3/23

Passo 5

Somando as duas partes:
x^2 raiz1 - x^2 + (1 - x^2)^3/23 = raiz1 - x^2 ( x^2 + 1 - x^23 ) = raiz1 - x^2 ( 3x^2 + 1 - x^23 ) = raiz1 - x^2 ( 2x^2 + 13 )
Então, a integral dupla fica:
integral0^1 2x^2 + 13 raiz1 - x^2 , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos deixar aqui o resultado final:
integral duplaR (x^2 + y^2) , dx , dy = pi4

Passo 7

Agora, vamos resolver a mesma integral, mas usando coordenadas polares. Isso geralmente simplifica as integrais quando a região de integração tem simetria circular, como é o caso aqui.

Passo 8

Nas coordenadas polares, e . A região é um quarto de círculo com raio 1, então varia de 0 a 1 e varia de 0 a .

Passo 9

A função x^2 + y^2 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2 em coordenadas polares fica:
E o elemento de área se transforma em .

Passo 10

Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
integral duplaR (x^2 + y^2) , dx , dy = integral0^pi2 integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 11

Vamos resolver a integral interna:
integral0^1 r^3 , dr = r^44 |0^1 = 14
Então, a integral fica:
integral0^pi2 14 , dtheta = 14 cdot theta |0^pi2 = 14 cdot pi2 = pi8

Resposta

(a)
(b)

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