Calcule , onde e .
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! A gente precisa calcular a integral de sobre a região , onde é definido por e . Vamos fazer isso de duas maneiras: primeiro, sem usar coordenadas polares, e depois usando coordenadas polares.
Parte (a): Sem utilizar a mudança para coordenadas polares
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Os limites para são de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 0 até . Isso descreve um quarto de círculo com raio 1, no primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla na ordem :
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é com relação a :
Calculando cada parte:
Passo 5
Somando as duas partes:
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos deixar aqui o resultado final:
Passo 7
Agora, vamos resolver a mesma integral, mas usando coordenadas polares. Isso geralmente simplifica as integrais quando a região de integração tem simetria circular, como é o caso aqui.
Passo 8
Nas coordenadas polares, e . A região é um quarto de círculo com raio 1, então varia de 0 a 1 e varia de 0 a .
Passo 9
A função em coordenadas polares fica:
E o elemento de área se transforma em .
Passo 10
Então, a integral dupla em coordenadas polares fica: