Calcule , onde e .
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! A gente precisa calcular a integral de sobre a região , onde é definido por e . Vamos fazer isso de duas maneiras: primeiro, sem usar coordenadas polares, e depois usando coordenadas polares.

Parte (a): Sem utilizar a mudança para coordenadas polares

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Os limites para são de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 0 até . Isso descreve um quarto de círculo com raio 1, no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla na ordem :

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é com relação a :
Calculando cada parte:

Passo 5

Somando as duas partes:
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos deixar aqui o resultado final:

Passo 7

Agora, vamos resolver a mesma integral, mas usando coordenadas polares. Isso geralmente simplifica as integrais quando a região de integração tem simetria circular, como é o caso aqui.

Passo 8

Nas coordenadas polares, e . A região é um quarto de círculo com raio 1, então varia de 0 a 1 e varia de 0 a .

Passo 9

A função em coordenadas polares fica:
E o elemento de área se transforma em .

Passo 10

Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:

Passo 11

Vamos resolver a integral interna:
Então, a integral fica:

Resposta

(a)
(b)

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