Determine o ponto da curva situado a menor distância da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o ponto na curva que está mais próximo da origem (0,0). Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo para minimizar a distância entre um ponto qualquer na curva e a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre um ponto e a origem é dada por:
No entanto, para facilitar a minimização, vamos trabalhar com o quadrado da distância:

Passo 3

Agora, como sabemos que o ponto está na curva , podemos usar essa equação para substituir na expressão de :
Então, nossa função para minimizar é:

Passo 4

Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar essa função em relação a e igualar a derivada a zero. A derivada de em relação a é:
Igualando a zero para encontrar o ponto mínimo:

Passo 5

Agora que encontramos , vamos encontrar o valor correspondente de usando a equação da curva:
Portanto, o ponto na curva é .

Resposta

O ponto da curva que está mais próximo da origem é .

Exercícios relacionados

Calcule , onde e .
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.
Calcule (como achar melhor):
Calcule a integral.
Calcule por quatro métodos:
(a) a substituição ,
(b) a substituição ,
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.