Determine o ponto da curva
situado a menor distância da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o ponto na curva
que está mais próximo da origem (0,0). Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo para minimizar a distância entre um ponto qualquer na curva e a origem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre um ponto
e a origem
é dada por:
No entanto, para facilitar a minimização, vamos trabalhar com o quadrado da distância:
Passo 3
Agora, como sabemos que o ponto
está na curva
, podemos usar essa equação para substituir
na expressão de
:
Então, nossa função para minimizar é:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar essa função em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada de
em relação a
é:
Igualando a zero para encontrar o ponto mínimo:
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos encontrar o valor correspondente de
usando a equação da curva:
Portanto, o ponto na curva é
.
Resposta
O ponto da curva
que está mais próximo da origem é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
.
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.
Calcule (como achar melhor):
Calcule a integral.
Calcule
por quatro métodos:
(a) a substituição ,
(b) a substituição ,
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
(a) a substituição
(b) a substituição
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.