Um feixe de partículas relativísticas com momento linear total
e energia total
colide frontalmente com outro feixe de partículas com momento
e energia
. Qual é a energia total do sistema no referencial do centro de massa?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem dois feixes de partículas que estão se movendo relativisticamente. O primeiro feixe tem um momento linear total de
e uma energia total de
. O segundo feixe tem um momento linear total de
e uma energia total de
. Esses feixes colidem frontalmente, ou seja, diretamente um contra o outro. A pergunta é: qual é a energia total do sistema no referencial do centro de massa?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade, especificamente sobre como energia e momento se comportam em diferentes referenciais. Também vamos utilizar a ideia de invariância da massa de repouso em diferentes frames.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o referencial do centro de massa. Nesse referencial, o momento total do sistema é zero. Ou seja, as partículas se movem de forma que seus momentos se cancelam mutuamente.
A energia total no referencial do centro de massa é chamada de energia de centro de massa
. Para encontrar essa energia, podemos usar a relação relativística que envolve as energias e os momentos dos feixes.
Passo 3
A relação fundamental que vamos usar é a invariância do quadrado da energia-momento total do sistema. Essa quantidade é a mesma em todos os referenciais e é dada por:
Aqui,
é o quadrado da massa invariante do sistema, e representa a energia total no referencial do centro de massa ao quadrado.
Passo 4
Dado que estamos procurando a energia no referencial do centro de massa (
), podemos relacionar
a essa energia. No referencial do centro de massa, o momento total é zero, então
.
Portanto, podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Esse é o resultado final que nos dá a energia total do sistema no referencial do centro de massa.
Resposta
A energia total do sistema no referencial do centro de massa é:
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