Um feixe de partículas relativísticas com momento linear total p1 e energia total E1 colide frontalmente com outro feixe de partículas com momento p2 e energia E2. Qual é a energia total do sistema no referencial do centro de massa?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem dois feixes de partículas que estão se movendo relativisticamente. O primeiro feixe tem um momento linear total de e uma energia total de . O segundo feixe tem um momento linear total de e uma energia total de . Esses feixes colidem frontalmente, ou seja, diretamente um contra o outro. A pergunta é: qual é a energia total do sistema no referencial do centro de massa?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade, especificamente sobre como energia e momento se comportam em diferentes referenciais. Também vamos utilizar a ideia de invariância da massa de repouso em diferentes frames.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o referencial do centro de massa. Nesse referencial, o momento total do sistema é zero. Ou seja, as partículas se movem de forma que seus momentos se cancelam mutuamente.
A energia total no referencial do centro de massa é chamada de energia de centro de massa . Para encontrar essa energia, podemos usar a relação relativística que envolve as energias e os momentos dos feixes.

Passo 3

A relação fundamental que vamos usar é a invariância do quadrado da energia-momento total do sistema. Essa quantidade é a mesma em todos os referenciais e é dada por:
s = (E1 + E2)^2 - (p1 + p2)^2
Aqui, é o quadrado da massa invariante do sistema, e representa a energia total no referencial do centro de massa ao quadrado.

Passo 4

Dado que estamos procurando a energia no referencial do centro de massa ( Ecm = raizs = raiz(E1 + E2)^2 - (p1 + p2)^2 ), podemos relacionar a essa energia. No referencial do centro de massa, o momento total é zero, então .
Portanto, podemos escrever:

Passo 5

Agora, vamos calcular Ecm = raiz(E1 + E2)^2 - (p1 + p2)^2 :
Esse é o resultado final que nos dá a energia total do sistema no referencial do centro de massa.

Resposta

A energia total do sistema no referencial do centro de massa é:
Ecm = raiz(E1 + E2)^2 - (p1 + p2)^2

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