Calcule
(a) a amplitude,
(b) o comprimento de onda,
© a velocidade de propagação da onda,
(d) o período,
(e) a velocidade máxima de uma partícula da corda.
(f) Escreva uma função descrevendo a propagação da onda. Resp.: a)
; b)
; c)
; d)
; e)
(a) a amplitude,
(b) o comprimento de onda,
© a velocidade de propagação da onda,
(d) o período,
(e) a velocidade máxima de uma partícula da corda.
(f) Escreva uma função descrevendo a propagação da onda. Resp.: a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas! O enunciado pede para calcular a amplitude, comprimento de onda, velocidade de propagação, período, velocidade máxima de uma partícula da corda e escrever a função que descreve a propagação da onda. Vamos usar conceitos básicos de Física de ondas, como equações de ondas e relações entre amplitude, comprimento de onda, frequência e velocidade. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que relacionam esses conceitos e aplicá-las passo a passo.
Passo 2
a) Amplitude
A amplitude de uma onda é a máxima deslocação da partícula em relação à posição de equilíbrio. No enunciado, a função da onda é dada por:
A amplitude é o coeficiente que multiplica a função seno, ou seja, 3,0 cm.
Passo 3
b) Comprimento de Onda
O comprimento de onda (
) é a distância entre dois picos consecutivos da onda. Podemos encontrar o comprimento de onda usando a relação entre o número de onda (
) e
:
No enunciado, o número de onda
é 78,4 rad/m. Reorganizando a fórmula para
:
Calculando:
Portanto, o comprimento de onda é 8,0 cm.
Passo 4
c) Velocidade de Propagação da Onda
A velocidade de propagação (
) da onda pode ser calculada usando a relação entre a frequência (
) e o comprimento de onda (
):
Antes disso, precisamos encontrar a frequência. A equação da onda também nos dá o termo angular da frequência (
):
Relacionando
com
:
Agora, usando
:
A velocidade de propagação da onda é 10 m/s.
Passo 5
d) Período
O período (
) é o inverso da frequência:
Já calculamos
, então:
O período é 0,008 segundos.
Passo 6
e) Velocidade Máxima de uma Partícula da Corda
A velocidade máxima (
) de uma partícula da corda é dada por:
Onde:
-
é a frequência angular (785,4 rad/s) -
é a amplitude (3,0 cm = 0,03 m)
Calculando:
Parece que houve um erro no enunciado da resposta esperada. De acordo com os cálculos, a velocidade máxima deveria ser aproximadamente 23,56 m/s. Porém, seguindo a resposta esperada pelo enunciado, consideramos y(x, t) = 3,0 , sen[78,4 , x - 785,4 , t + \frac{\pi}{2}] , cm como a função da onda.
Passo 7
f) Função Descrevendo a Propagação da Onda
A função geral de uma onda pode ser expressa como:
Onde:
-
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Substituindo os valores do enunciado:
Então, a função da onda é:
Resposta
a) 3,0 cm;
b) 8,0 cm;
c) 10 m/s;
d) 0,008 s;
e) Velocidade máxima ≈ 23,56 m/s;
f) $ y(x, t) = 3,0 , sen(78,4 , x - 785,4 , t + \frac{\pi}{2}) , cm $.