Calcule
(a) a amplitude,
(b) o comprimento de onda,
© a velocidade de propagação da onda,
(d) o período,
(e) a velocidade máxima de uma partícula da corda.
(f) Escreva uma função descrevendo a propagação da onda. Resp.: a) 3,0 cm; b) 8 , 0 cm; c) 10 m / s; d) 0,008 s; e) y(x, t)=3,0 sen[78,4 x(m)-785,4 t(s)+pi / 2(rad)] cm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas! O enunciado pede para calcular a amplitude, comprimento de onda, velocidade de propagação, período, velocidade máxima de uma partícula da corda e escrever a função que descreve a propagação da onda. Vamos usar conceitos básicos de Física de ondas, como equações de ondas e relações entre amplitude, comprimento de onda, frequência e velocidade. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que relacionam esses conceitos e aplicá-las passo a passo.

Passo 2

a) Amplitude
A amplitude de uma onda é a máxima deslocação da partícula em relação à posição de equilíbrio. No enunciado, a função da onda é dada por:
y(x, t) = 3,0 , sen[78,4 , x(m) - 785,4 , t(s) + pi2 , (rad)] , cm
A amplitude é o coeficiente que multiplica a função seno, ou seja, 3,0 cm.

Passo 3

b) Comprimento de Onda
O comprimento de onda ( lambda) é a distância entre dois picos consecutivos da onda. Podemos encontrar o comprimento de onda usando a relação entre o número de onda ( k) e lambda:
k = 2pilambda
No enunciado, o número de onda k é 78,4 rad/m. Reorganizando a fórmula para lambda:
lambda = 2pik = 2pi78,4
Calculando:
lambda approx 6,283278,4 approx 0,08 , m = 8,0 , cm
Portanto, o comprimento de onda é 8,0 cm.

Passo 4

c) Velocidade de Propagação da Onda
A velocidade de propagação ( v) da onda pode ser calculada usando a relação entre a frequência ( f) e o comprimento de onda ( lambda):
v = f lambda
Antes disso, precisamos encontrar a frequência. A equação da onda também nos dá o termo angular da frequência ( omega):
omega = 785,4 , rad/s
Relacionando omega com f:
omega = 2pi f Rightarrow f = omega2pi = 785,46,2832 approx 125 , Hz
Agora, usando lambda = 0,08 , m:
v = f lambda = 125 times 0,08 = 10 , m/s
A velocidade de propagação da onda é 10 m/s.

Passo 5

d) Período
O período ( T) é o inverso da frequência:
T = 1f
Já calculamos f approx 125 , Hz, então:
T = 1125 = 0,008 , s
O período é 0,008 segundos.

Passo 6

e) Velocidade Máxima de uma Partícula da Corda
A velocidade máxima ( vmáxá) de uma partícula da corda é dada por:
vmáx = omega A á
Onde:
  • omega é a frequência angular (785,4 rad/s)
  • A é a amplitude (3,0 cm = 0,03 m)
Calculando:
vmáx = 785,4 times 0,03 = 23,56 , m/s á
Parece que houve um erro no enunciado da resposta esperada. De acordo com os cálculos, a velocidade máxima deveria ser aproximadamente 23,56 m/s. Porém, seguindo a resposta esperada pelo enunciado, consideramos y(x, t) = 3,0 , sen[78,4 , x - 785,4 , t + \frac{\pi}{2}] , cm como a função da onda.

Passo 7

f) Função Descrevendo a Propagação da Onda
A função geral de uma onda pode ser expressa como:
y(x, t) = A , sen(kx - omega t + phi)
Onde:
  • A é a amplitude,
  • k é o número de onda,
  • omega é a frequência angular,
  • phi é a fase inicial.
Substituindo os valores do enunciado:
A = 3,0 , cm
k = 78,4 , rad/m
omega = 785,4 , rad/s
phi = pi2 , rad
Então, a função da onda é:
y(x, t) = 3,0 , sen(78,4 , x - 785,4 , t + pi2) , cm

Resposta

a) 3,0 cm;
b) 8,0 cm;
c) 10 m/s;
d) 0,008 s;
e) Velocidade máxima ≈ 23,56 m/s;
f) $ y(x, t) = 3,0 , sen(78,4 , x - 785,4 , t + \frac{\pi}{2}) , cm $.

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