O som de uma trombeta é emitido em todas as direções no ar a 20,0^circ C. A uma distância de 6,88 m da trombeta o nível da intensidade sonora é igual a 58,4 dB, A frequência é igual a 587 Hz . Para o ar, a 20,0^circ C, sabemos que a densidade é igual a rho=1,20 kg / m^3 e v som =343 m / s. Considere como referência, para a medida da intensidade sonora, o limiar do ouvido humano 1,00 times 10^-12 W / m^2.
Calcule a amplitude do deslocamento neste ponto.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema de som aqui. Uma trombeta está emitindo som em todas as direções no ar a 20°C. A 6,88 metros dela, o nível de intensidade sonora é de 58,4 decibéis (dB) e a frequência do som é de 587 Hz. Sabemos também algumas propriedades do ar, como densidade e velocidade do som, e queremos descobrir qual é a amplitude do deslocamento das partículas do ar nesse ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter decibéis em intensidade, calcular a frequência angular e usar a relação entre intensidade sonora e amplitude de deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o nível de intensidade sonora de decibéis para a intensidade em W/m². A fórmula para isso é:
L = 10 log10 ( II0 )
Onde:
  • $ L $ é o nível de intensidade sonora em decibéis (58,4 dB)
  • $ I $ é a intensidade sonora que queremos encontrar
  • $ I_0 $ é a intensidade de referência ( L W/m²)
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ I $:
I
Substituindo os valores:
I0
1,00 times 10^-12
Calculando isso:
I
I = I0 times 10^L10 ²

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência angular $ \omega $ a partir da frequência $ f $. A frequência angular é dada por:
omega
Onde $ f = 587 $ Hz. Então:
f
omega = 2pi f
f = 587

Passo 4

A próxima etapa é usar a relação entre intensidade sonora $ I $ e amplitude de deslocamento $ s $. A fórmula que relaciona essas grandezas é:
I
Onde:
  • $ I $ é a intensidade sonora ( s W/m²)
  • $ \rho $ é a densidade do ar (1,20 kg/m³)
  • $ v $ é a velocidade do som no ar (343 m/s)
  • $ \omega $ é a frequência angular (3693 rad/s)
  • $ s $ é a amplitude de deslocamento que queremos encontrar
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ s $:
I = 12 rho v omega^2 s^2

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
s = raiz 2 times 6,92 times 10^-71,20 times 343 times (3693)^2
Primeiro, calculamos o denominador:
1,20 times 343 times (3693)^2
1,20 times 343 times 13.629.649
1,20 times 343 times 13.629.649 approx 5,6 times 10^9
Agora, o numerador:
2 times 6,92 times 10^-7 = 1,384 times 10^-6
Então:
s = raiz 1,384 times 10^-65,6 times 10^9
s = raiz 2,471 times 10^-16
s approx 1,57 times 10^-8 metros

Resposta

A amplitude do deslocamento nesse ponto é aproximadamente 1,57 times 10^-8 metros.

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