Na tabela seguinte, são mostrados os dados experimentais, de tempo
e corrente
para um processo de carga de um capacitor
em série com um resistor
e uma bateria de
. Complete a terceira coluna da tabela, calculando a grandeza
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela com dados experimentais de tempo $ t $ em segundos e corrente $ I $ em microamperes ($ \mu A $) para o processo de carga de um capacitor $ C $ em série com um resistor de $ R = 148,2 \times 10^{3} , \Omega $ e uma bateria de $ \varepsilon = 10,0 , V $. A tarefa é completar a terceira coluna da tabela calculando o logaritmo natural da corrente, ou seja, $ \ln(I , \mu A) $.
Vamos precisar entender como a corrente varia com o tempo em um circuito RC (resistor-capacitor) e como aplicar o logaritmo natural nessa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula que descreve a corrente $ I(t) $ em um circuito RC durante a carga do capacitor:
Aqui, $ \varepsilon $ é a tensão da bateria, $ R $ é a resistência, $ C $ é a capacitância do capacitor, e $ t $ é o tempo.
Essa equação mostra que a corrente diminui exponencialmente com o tempo à medida que o capacitor se carrega.
Passo 3
Nosso objetivo é calcular $ \ln(I) $. Vamos aplicar o logaritmo natural na equação da corrente:
Passo 4
Utilizando as propriedades dos logaritmos, podemos separar os termos:
Sabemos que $ \ln(e^{x}) = x $, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de $ \ln\left( \frac{\varepsilon}{R} \right) $. Substituindo os valores dados:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos determinar $ \frac{1}{RC} $. No entanto, como a capacitância $ C $ não foi fornecida diretamente na questão, vamos considerar que ela foi determinada experimentalmente ou fornecida em outro contexto da tabela. Se $ C $ for conhecido, podemos calcular $ \frac{1}{RC} $ substituindo os valores de $ R $ e $ C $.
Por exemplo, supondo que $ C = 100 , \mu F $:
Então,
Passo 7
Com esses valores, a equação para $ \ln(I(t)) $ fica:
Isso significa que, para cada valor de tempo $ t $ na tabela, podemos calcular $ \ln(I) $ usando essa equação.
Resposta
Portanto, a terceira coluna da tabela, $ \ln(I , \mu A) $, pode ser calculada usando a fórmula:
Substituindo os valores de $ \varepsilon $, $ R $ e $ C $, você obtém os valores de $ \ln(I) $ correspondentes a cada tempo $ t $.