Calcule o ângulo entre os vetores u e v abaixo no produto interno indicado:
u=(1,1), v=(1,-1), no produto interno lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<==2 x1 x2+x1 y2+x2 y1+y1 y2 em R^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano, u = (1, 1) e v = (1, -1). O produto interno que estamos usando é definido por:
lang<= (x1, y1), (x2, y2) rang<= = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2
Queremos calcular o ângulo entre esses dois vetores usando esse produto interno. Para isso, vamos utilizar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores, que envolve calcular o produto interno e as normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= u, v rang<=. Substituindo os valores de u e v na definição do produto interno:
lang<= u, v rang<= = 2(1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) + (1)(-1)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
lang<= u, v rang<= = 2 times 1 times 1 + 1 times (-1) + 1 times 1 + 1 times (-1) = 2 - 1 + 1 - 1 = 1
Então, o produto interno lang<= u, v rang<= é igual a 1.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular as normas dos vetores u e v. A norma de um vetor w = (x, y) no espaço com esse produto interno é dada por:
|w| = raizlang<= w, w rang<=
Vamos calcular |u| e |v|.

Passo 5

Vamos calcular lang<= u, u rang<=:
lang<= u, u rang<= = 2(1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 + 1 = 5
Então, a norma de u é:
|u| = raiz5

Passo 6

Agora, vamos calcular lang<= v, v rang<=:
lang<= v, v rang<= = 2(1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1) + (-1)(-1) = 2 - 1 - 1 + 1 = 1
Então, a norma de v é:
|v| = raiz1 = 1

Passo 7

Com o produto interno e as normas calculados, usamos a fórmula do cosseno do ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = lang<= u, v rang<=|u| cdot |v|
Substituindo os valores:
cos(theta) = 1raiz5 times 1 = 1raiz5 approx 0,4472

Resposta

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(1raiz5) approx 63,43^circ
O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 63,43 graus.

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