Calcule o ângulo entre os vetores
e
abaixo no produto interno indicado:
, no produto interno
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano,
e
. O produto interno que estamos usando é definido por:
Queremos calcular o ângulo entre esses dois vetores usando esse produto interno. Para isso, vamos utilizar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores, que envolve calcular o produto interno e as normas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno
. Substituindo os valores de
e
na definição do produto interno:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Então, o produto interno
é igual a 1.
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular as normas dos vetores
e
. A norma de um vetor
no espaço com esse produto interno é dada por:
Vamos calcular
e
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Então, a norma de
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Então, a norma de
é:
Passo 7
Com o produto interno e as normas calculados, usamos a fórmula do cosseno do ângulo
entre os vetores:
Substituindo os valores:
Resposta
Finalmente, para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
O ângulo entre os vetores
e
é aproximadamente
graus.