Determine os pontos de interseção das curvas cujas equações são dadas. A seguir, esboce ambas as curvas em um mesmo sistema de eixos exibindo os pontos de interseção. lx^2+4 y^2=36 x^2+y^2=12

Passo 1

Vamos lá! Temos um sistema de duas equações que representam uma elipse e um círculo. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas duas curvas se cruzam, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre como resolver sistemas de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que nos foram dadas:
x^2 + 4y^2 = 36 (1) x^2 + y^2 = 12 (2)
Observamos que ambas as equações têm o termo , o que pode facilitar a resolução.

Passo 3

Para eliminar (x^2 + 4y^2) - (x^2 + y^2) = 36 - 12 e encontrar uma relação entre 3y^2 = 24 , vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver para y^2 = 243 = 8 :
y = raiz8 ou y = -raiz8
E, em seguida, encontrar os valores de y = 2raiz2 ou y = -2raiz2 :

Passo 5

Com os valores de x^2 + y^2 = 12 encontrados, vamos substituir na segunda equação original para encontrar os valores correspondentes de x^2 + (2raiz2)^2 = 12 :
x^2 + 8 = 12
Substituindo x^2 = 4 :
x = 2 ou x = -2

Passo 6

Fazendo a mesma substituição para x^2 + (-2raiz2)^2 = 12 :
x^2 + 8 = 12
x^2 = 4
x = 2 ou x = -2

Passo 7

Assim, os pontos de interseção são:
(2, 2raiz2), (-2, 2raiz2), (2, -2raiz2), (-2, -2raiz2)

Resposta

Os pontos de interseção das curvas são , , e . Ao esboçar as duas curvas no mesmo sistema de eixos, esses pontos serão os locais onde a elipse e o círculo se cruzam.

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