Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^3 ? Justifique.
© W=(x, y, z) in R^3 mid x >= 0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço tridimensional . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que definem quando um conjunto é um subespaço vetorial. Precisaremos verificar três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Observando a condição de , temos que . No caso do vetor zero, , o que satisfaz a condição . Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer de , a soma deles também deve estar em . Seja e em , então sabemos que e . A soma . Como , a soma também satisfaz . Logo, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que para qualquer vetor em e para qualquer escalar , o vetor também deve estar em . Sabemos que . Se for positivo, então , mantendo a condição. Porém, se for negativo, , o que não satisfaz . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar quando é negativo.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não é fechado sob multiplicação por escalar.

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