Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço tridimensional
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que definem quando um conjunto é um subespaço vetorial. Precisaremos verificar três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Observando a condição de
, temos que
. No caso do vetor zero,
, o que satisfaz a condição
. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer de
, a soma deles também deve estar em
. Seja
e
em
, então sabemos que
e
. A soma
. Como
, a soma também satisfaz
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que para qualquer vetor
em
e para qualquer escalar
, o vetor
também deve estar em
. Sabemos que
. Se
for positivo, então
, mantendo a condição. Porém, se
for negativo,
, o que não satisfaz
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar quando
é negativo.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não é fechado sob multiplicação por escalar.