Calcule o ângulo entre os vetores
e
abaixo no produto interno indicado:
, no produto interno usual
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o ângulo entre dois vetores,
e
, no espaço tridimensional
usando o produto interno usual. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno (ou produto escalar) entre vetores e como usar essa informação para encontrar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno entre dois vetores. O produto interno de
e
é dado por:
Vamos calcular isso para os vetores dados.
Passo 3
Substituindo os valores dos vetores
e
:
Passo 4
Agora, precisamos das normas (ou magnitudes) dos vetores
e
. A norma de um vetor
é calculada por:
Vamos calcular as normas de
e
.
Passo 5
Calculando a norma de
:
E a norma de
:
Passo 6
Com o produto interno e as normas, podemos usar a fórmula que relaciona o produto interno com o ângulo
entre os vetores:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a fórmula:
Passo 7
Substituindo os valores que encontramos:
Agora, vamos encontrar
tirando o arco cosseno de
.
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é
.