Calcule o ângulo entre os vetores u e v abaixo no produto interno indicado:
u=(1,-1,2), v=(1,0,1), no produto interno usual em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o ângulo entre dois vetores, e , no espaço tridimensional usando o produto interno usual. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno (ou produto escalar) entre vetores e como usar essa informação para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno entre dois vetores. O produto interno de u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 e é dado por:
Vamos calcular isso para os vetores dados.

Passo 3

Substituindo os valores dos vetores u cdot v = (1)(1) + (-1)(0) + (2)(1) = 1 + 0 + 2 = 3 e :

Passo 4

Agora, precisamos das normas (ou magnitudes) dos vetores |a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 e . A norma de um vetor é calculada por:
Vamos calcular as normas de e .

Passo 5

Calculando a norma de |u| = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 :
|v| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
E a norma de :

Passo 6

Com o produto interno e as normas, podemos usar a fórmula que relaciona o produto interno com o ângulo u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 3raiz6 cdot raiz2 = 3raiz12 = 32raiz3 = raiz32
Agora, vamos encontrar tirando o arco cosseno de .

Resposta

O ângulo entre os vetores e é .

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