Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se o conjunto
é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, precisamos verificar três propriedades básicas dos subespaços vetoriais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é o polinômio
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Como a condição é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado em relação à adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios
e
em
, a soma
também deve estar em
. Sabemos que:
Somando essas duas equações:
Portanto,
também satisfaz a condição
, mostrando que
é fechado em relação à adição.
Passo 4
Finalmente, vamos verificar se
é fechado em relação à multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer polinômio
em
e qualquer escalar
, o polinômio
também deve estar em
. Sabemos que:
Multiplicando por
:
Assim,
também satisfaz a condição
, o que confirma que
é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
porque satisfaz todas as propriedades necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.