Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de P2 ? Justifique.
© W=p(t) in P2 mid p(t)+p^prime(t)=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se o conjunto é um subespaço vetorial de , que é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, precisamos verificar três propriedades básicas dos subespaços vetoriais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 + 0^prime = 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é o polinômio . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como a condição é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se p(t) + p^prime(t) = 0 e q(t) + q^prime(t) = 0 é fechado em relação à adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios (p(t) + q(t)) + (p^prime(t) + q^prime(t)) = 0 + 0 = 0 e em , a soma também deve estar em . Sabemos que:
Somando essas duas equações:
Portanto, também satisfaz a condição , mostrando que é fechado em relação à adição.

Passo 4

Finalmente, vamos verificar se p(t) + p^prime(t) = 0 é fechado em relação à multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer polinômio c cdot p(t) + c cdot p^prime(t) = c cdot 0 = 0 em e qualquer escalar , o polinômio também deve estar em . Sabemos que:
Multiplicando por :
Assim, também satisfaz a condição , o que confirma que é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de porque satisfaz todas as propriedades necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

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