Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma condição para que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional . A matéria que vamos usar aqui é a combinação linear de vetores, que é basicamente expressar um vetor como uma mistura de outros vetores multiplicados por certos coeficientes. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma combinação linear. Dizemos que é uma combinação linear de e se existir um número e um número tais que:
Passo 3
Vamos substituir os valores dos vetores e na equação:
Isso dá:
Passo 4
Agora, temos que as coordenadas de devem ser iguais às coordenadas resultantes da combinação linear. Isso nos leva a um sistema de três equações:
Passo 5
Para que esse sistema tenha solução, as equações precisam ser compatíveis. Ou seja, deve existir valores de a e b que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo. Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar a e b em termos de x e y.
Da primeira equação:
a = x - 2b
Substituindo na segunda equação:
-3(x - 2b) + 4b = y
Simplificando:
-3x + 6b + 4b = y
-3x + 10b = y
10b = y + 3x
b = y + 3x10
Agora, substituímos b na expressão para a:
a = x - 2(y + 3x10)
a = x - 2y + 6x10
a = 10x - 2y - 6x10
a = 4x - 2y10
a = 2x - y5
Passo 6
Agora que temos a e b em termos de x e y, vamos usar a terceira equação para encontrar a condição necessária para z:
2a - b = z
Substituindo a e b:
2(2x - y5) - y + 3x10 = z
Simplificando:
4x - 2y5 - y + 3x10 = z
8x - 4y - y - 3x10 = z
5x - 5y10 = z
x - y2 = z
Resposta
A condição para que (x, y, z) seja combinação linear de v1 e v2 é que z seja igual a x - y2. Ou seja: