Consideremos v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1) vetores de R^3.
© Determine uma condição para x, y e z de modo que (x, y, z) seja combinação linear dos vetores v1 e v2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma condição para que o vetor (x, y, z) seja uma combinação linear dos vetores v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1) no espaço tridimensional R^3. A matéria que vamos usar aqui é a combinação linear de vetores, que é basicamente expressar um vetor como uma mistura de outros vetores multiplicados por certos coeficientes. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma combinação linear. Dizemos que (x, y, z) é uma combinação linear de v1 e v2 se existir um número a e um número b tais que:
(x, y, z) = a cdot v1 + b cdot v2

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores v1 e v2 na equação:
(x, y, z) = a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, 4, -1)
Isso dá:
(x, y, z) = (a + 2b, -3a + 4b, 2a - b)

Passo 4

Agora, temos que as coordenadas de (x, y, z) devem ser iguais às coordenadas resultantes da combinação linear. Isso nos leva a um sistema de três equações:
a + 2b = x -3a + 4b = y 2a - b = z

Passo 5

Para que esse sistema tenha solução, as equações precisam ser compatíveis. Ou seja, deve existir valores de a e b que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo. Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar a e b em termos de x e y.
Da primeira equação:
a = x - 2b
Substituindo na segunda equação:
-3(x - 2b) + 4b = y
Simplificando:
-3x + 6b + 4b = y
-3x + 10b = y
10b = y + 3x
b = y + 3x10
Agora, substituímos b na expressão para a:
a = x - 2(y + 3x10)
a = x - 2y + 6x10
a = 10x - 2y - 6x10
a = 4x - 2y10
a = 2x - y5

Passo 6

Agora que temos a e b em termos de x e y, vamos usar a terceira equação para encontrar a condição necessária para z:
2a - b = z
Substituindo a e b:
2(2x - y5) - y + 3x10 = z
Simplificando:
4x - 2y5 - y + 3x10 = z
8x - 4y - y - 3x10 = z
5x - 5y10 = z
x - y2 = z

Resposta

A condição para que (x, y, z) seja combinação linear de v1 e v2 é que z seja igual a x - y2. Ou seja:
z = x - y2

Exercícios relacionados