Esboce a curva dada pela equação:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar a curva definida pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o estudo das cônicas. Vamos precisar completar o quadrado para transformar a equação na forma padrão de uma hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos agrupar os termos de
e de
:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
. O termo
pode ser reescrito completando o quadrado:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Em seguida, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Portanto,
Passo 5
Substituindo as expressões completas na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Isolamos os termos quadráticos:
Dividimos ambos os lados por 3 para obter a forma padrão:
Passo 7
Agora, reconhecemos a forma padrão de uma hipérbole:
Comparando, temos:
- Centro
-
, então -
, então
Passo 8
A hipérbole tem seu eixo transverso horizontal, então os vértices estão a uma distância
do centro na direção do eixo
.
Vértices:
e
Passo 9
As assíntotas da hipérbole são dadas por:
Substituindo os valores:
Passo 10
Com essas informações (centro, vértices, assíntotas), podemos esboçar a hipérbole no plano cartesiano, desenhando os eixos principais, os vértices e as assíntotas para guiar o desenho da curva.
Resposta
A curva
é uma hipérbole com centro em
, vértices em
e assíntotas dadas por
. Com esses elementos, podemos esboçar a hipérbole no plano cartesiano.