Esboce a curva dada pela equação: x^2-3 y^2+6 x+6 y+3=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar a curva definida pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o estudo das cônicas. Vamos precisar completar o quadrado para transformar a equação na forma padrão de uma hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos de x^2 + 6x - 3y^2 + 6y + 3 = 0 e de :

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 . O termo pode ser reescrito completando o quadrado:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de -3y^2 + 6y = -3(y^2 - 2y) . Primeiro, fatoramos o coeficiente de y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 :
-3(y^2 - 2y) = -3[(y - 1)^2 - 1] = -3(y - 1)^2 + 3
Em seguida, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Portanto,

Passo 5

Substituindo as expressões completas na equação original:
(x + 3)^2 - 9 - 3(y - 1)^2 + 3 + 3 = 0
Simplificando os termos constantes:
(x + 3)^2 - 3(y - 1)^2 - 3 = 0

Passo 6

Isolamos os termos quadráticos:
(x + 3)^2 - 3(y - 1)^2 = 3
Dividimos ambos os lados por 3 para obter a forma padrão:
(x + 3)^23 - (y - 1)^21 = 1

Passo 7

Agora, reconhecemos a forma padrão de uma hipérbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando, temos:
  • Centro
  • , então
  • , então

Passo 8

A hipérbole tem seu eixo transverso horizontal, então os vértices estão a uma distância do centro na direção do eixo .
Vértices: e

Passo 9

As assíntotas da hipérbole são dadas por:
y - k = pm ba(x - h)
Substituindo os valores:
y - 1 = pm 1raiz3(x + 3)

Passo 10

Com essas informações (centro, vértices, assíntotas), podemos esboçar a hipérbole no plano cartesiano, desenhando os eixos principais, os vértices e as assíntotas para guiar o desenho da curva.

Resposta

A curva é uma hipérbole com centro em , vértices em e assíntotas dadas por . Com esses elementos, podemos esboçar a hipérbole no plano cartesiano.

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