Calcule a área do cone elíptico z = raiz(x^2 + y^2), com (x, y) em D: (x - 2)² + 4y² <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área de um cone elíptico dado pela equação , restrito à região definida por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço, especificamente integrais duplas e a fórmula para a área de uma superfície .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a área de uma superfície dada por sobre uma região no plano é calculada usando a seguinte fórmula:
No nosso caso, . Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Então, a área fica:
Á

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região : . Essa é a equação de uma elipse centrada no ponto (2, 0), com semi-eixo maior e semi-eixo menor .
A área de uma elipse é dada por:
Á
Substituindo os valores:
Á

Resposta

A área do cone elíptico é .

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