Calcule a massa de uma chapa delgada S dada por Gamma(u, v) = (u, v, 2u + v) com 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= u, sendo sua densidade superficial delta(x, y, z) = x + y + z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma chapa delgada que está definida pela parametrização com e . A densidade superficial dessa chapa é dada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície em geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa de uma superfície é calculada integrando a densidade sobre toda a área dessa superfície. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é o elemento de área da superfície.

Passo 3

Como a superfície está parametrizada por , precisamos encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar um vetor normal à superfície:

Passo 5

A magnitude desse vetor nos dá o valor de :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos expressar a densidade em termos de e . Sabemos que:
Então,

Passo 7

Substituindo tudo na integral de massa:
Onde é a região e .

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A massa da chapa delgada é:

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