Calcule a massa de uma chapa delgada dada por com e , sendo sua densidade superficial .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma chapa delgada que está definida pela parametrização com e . A densidade superficial dessa chapa é dada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície em geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa de uma superfície é calculada integrando a densidade sobre toda a área dessa superfície. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é o elemento de área da superfície.
Passo 3
Como a superfície está parametrizada por , precisamos encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar um vetor normal à superfície:
Passo 5
A magnitude desse vetor nos dá o valor de :
Então, .
Passo 6
Agora, vamos expressar a densidade em termos de e . Sabemos que: