Determine a área da superfície do paraboloide , abaixo do pano .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da superfície do paraboloide que está abaixo do plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície definida por uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região no plano onde essa superfície está abaixo do plano . Isso significa encontrar todos os pontos que satisfazem .
Passo 3
Vamos igualar a equação do paraboloide ao valor do plano para encontrar os limites dessa região:
Dividindo ambos os lados por 2:
Essa é a equação de um círculo com raio 2 no plano .
Passo 4
A fórmula para calcular a área de uma superfície sobre uma região no plano é:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Passo 7
Para facilitar a integração, vamos converter para coordenadas polares, onde e . Assim, e o elemento de área vira .
Passo 8
A área fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazemos uma substituição , então ou .
Passo 10
A integral se torna:
Passo 11
Agora, integramos em relação a :
Á
Resposta
A área da superfície do paraboloide abaixo do plano é: