Determine a área da superfície do paraboloide z = 2*x^2 + 2*y^2, abaixo do pano z = 8.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da superfície do paraboloide que está abaixo do plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície definida por uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região no plano onde essa superfície está abaixo do plano . Isso significa encontrar todos os pontos que satisfazem .

Passo 3

Vamos igualar a equação do paraboloide ao valor do plano para encontrar os limites dessa região:
Dividindo ambos os lados por 2:
Essa é a equação de um círculo com raio 2 no plano .

Passo 4

A fórmula para calcular a área de uma superfície sobre uma região no plano é:
Á

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Á

Passo 7

Para facilitar a integração, vamos converter para coordenadas polares, onde e . Assim, e o elemento de área vira .

Passo 8

A área fica:
Á

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazemos uma substituição , então ou .

Passo 10

A integral se torna:

Passo 11

Agora, integramos em relação a :
Á

Resposta

A área da superfície do paraboloide abaixo do plano é:
Á

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