Seja
a porção do cone
limitado pelos planos
e
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de superfície de
sobre a parte do cone definido por
, limitada pelos planos
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície do cone, encontrar o elemento de área
e então montar e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cone. Sabemos que
pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas como
, onde
é o raio no plano
. Então, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar:
,
, e
, com
variando de 1 a 4 e
de 0 a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
na parametrização. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície dada por
, o elemento de área é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral de superfície
usando nossa parametrização:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos calcular as integrais. Primeiro, a integral em
:
Agora, a integral em
:
Multiplicando tudo:
Resposta
A integral de superfície
vale aproximadamente
.