Seja S a porção do cone z=raizx^2+y^2 limitado pelos planos z=1 e z=4. Calcule integral duplaS z^2 d S

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de superfície de sobre a parte do cone definido por , limitada pelos planos e . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície do cone, encontrar o elemento de área e então montar e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cone. Sabemos que pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas como , onde é o raio no plano . Então, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar: , , e , com variando de 1 a 4 e de 0 a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta na parametrização. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície dada por partial zpartial r = 1, partial zpartial theta = 0 , o elemento de área é dado por:
dS = raiz1^2 + 0^2 + 1 , r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral de superfície integral duplaS z^2 , dS = integral0^2pi integral1^4 (r^2) cdot raiz2 , r , dr , dtheta usando nossa parametrização:
raiz2 integral0^2pi integral1^4 r^3 , dr , dtheta
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos calcular as integrais. Primeiro, a integral em integral1^4 r^3 , dr = [ r^44 ]1^4 = 4^44 - 1^44 = 2564 - 14 = 64 - 0.25 = 63.75 :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Agora, a integral em raiz2 times 63.75 times 2pi = raiz2 times 127.5 pi approx 180.345 pi :
Multiplicando tudo:

Resposta

A integral de superfície vale aproximadamente .

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