Calcule o volume do sólido que está simultaneamente no interior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 e do cilindro x^2 + (y - 1)^2 = 1 Resp.: 16/3 * (pi - 4/3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está dentro tanto da esfera quanto do cilindro . A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes utilizando integrais múltiplas, especialmente integrando em coordenadas cilíndricas por causa da forma do cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e usar a fórmula de coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria dessas figuras. A esfera tem centro na origem e raio 2. O cilindro está deslocado no eixo y, com raio 1. Essa configuração faz com que o cilindro intersecte a esfera em uma parte específica do espaço.

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro e uma esfera, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação da esfera se torna:
Isso nos mostra que para cada , os limites de vão de até .

Passo 4

Agora, vamos analisar o cilindro em coordenadas cilíndricas:
Expandindo isso:
Simplificando:
Fatorando:
Isso nos dá ou . Ignorando (que é apenas o eixo), temos como o limite para .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os limites para . Observando o cilindro deslocado, percebemos que varia de 0 a , pois o cilindro está acima do eixo x. Portanto, nossos limites serão:

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral em . Vamos fazer uma substituição:
Então, a integral em transforma-se em:
Invertendo os limites:
Sabendo que , temos:

Passo 9

Substituindo de volta na integral para :
Simplificando :

Passo 10

Agora, vamos calcular a integral:
e
porque é uma função ímpar em relação a .
Então, temos:

Resposta

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