Calcule o volume do sólido que está simultaneamente no interior da esfera
e do cilindro
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está dentro tanto da esfera
quanto do cilindro
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes utilizando integrais múltiplas, especialmente integrando em coordenadas cilíndricas por causa da forma do cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e usar a fórmula de coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria dessas figuras. A esfera
tem centro na origem e raio 2. O cilindro
está deslocado no eixo y, com raio 1. Essa configuração faz com que o cilindro intersecte a esfera em uma parte específica do espaço.
Passo 3
Como estamos lidando com um cilindro e uma esfera, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação da esfera se torna:
Isso nos mostra que para cada
, os limites de
vão de
até
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o cilindro
em coordenadas cilíndricas:
Expandindo isso:
Simplificando:
Fatorando:
Isso nos dá
ou
. Ignorando
(que é apenas o eixo), temos
como o limite para
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os limites para
. Observando o cilindro deslocado, percebemos que
varia de 0 a
, pois o cilindro está acima do eixo x. Portanto, nossos limites serão:
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos resolver a integral em
. Vamos fazer uma substituição:
Então, a integral em
transforma-se em:
Invertendo os limites:
Sabendo que
, temos:
Passo 9
Substituindo de volta na integral para
:
Simplificando
:
Passo 10
Agora, vamos calcular a integral:
e
porque
é uma função ímpar em relação a
.
Então, temos: