Calcule a área delimitada pela curva
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a curva definida pela equação
e precisamos calcular a área que essa curva delimita. Para resolver isso, vamos usar o conceito de coordenadas polares e integração para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Isso nos mostra que
só é real quando
, ou seja, quando
está entre
e
,
e
, etc.
Passo 3
A curva
é conhecida como uma rosa de quatro pétalas porque a função
cria quatro ciclos completos no intervalo de
a
. Isso significa que podemos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar por quatro para obter a área total.
Passo 4
A fórmula para calcular a área
em coordenadas polares é:
Aqui,
, então substituímos na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Então, a área total fica:
Resposta
A área delimitada pela curva
é 18 unidades de área.