Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valores de contorno juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas e funções trigonométricas, e a gente precisa encontrar a função que satisfaz essa equação quando , ou seja, . Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais, especialmente a separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para isolar o . A equação original é:
Vamos mover os termos que não têm para o outro lado:
Agora, isolamos :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa que vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Multiplicando ambos os lados por e trazendo para o outro lado:
Essa separação nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação. A integral fica:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Para encontrar a constante , usamos a condição de contorno . Substituindo e :

Passo 6

Substituímos a constante de volta na equação:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição é:

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Um tanque cheio de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto de 3 m de raio da base e 5 m de altura. No tempo o petróleo começa a escoar por um orifício no fundo do tanque à razão de . Com que velocidade o nível de petróleo desce? Quanto tempo levará para o tanque ficar vazio?
Obs.: .
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(a) $ tcost, tsent com .
Calcule a área delimitada pela curva .
Considere a função .
Encontrar o domínio e os pontos de interseç̧ão com os cixos e .