Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valores de contorno juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas e funções trigonométricas, e a gente precisa encontrar a função
que satisfaz essa equação quando
, ou seja,
. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais, especialmente a separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para isolar o
. A equação original é:
Vamos mover os termos que não têm
para o outro lado:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa que vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Multiplicando ambos os lados por
e trazendo
para o outro lado:
Essa separação nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação. A integral fica:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição de contorno
. Substituindo
e
:
Passo 6
Substituímos a constante
de volta na equação:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição
é:
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Um tanque cheio de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto de 3 m de raio da base e 5 m de altura. No tempo
o petróleo começa a escoar por um orifício no fundo do tanque à razão de
. Com que velocidade o nível de petróleo desce? Quanto tempo levará para o tanque ficar vazio?
Obs.: .
Obs.:
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(a) $ tcost, tsent
com
.
$(a) $
Calcule a área delimitada pela curva
.
Considere a função
.
Encontrar o domínio e os pontos de interseç̧ão com os cixos
e
.
Encontrar o domínio