Um tanque cheio de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto de 3 m de raio da base e 5 m de altura. No tempo o petróleo começa a escoar por um orifício no fundo do tanque à razão de . Com que velocidade o nível de petróleo desce? Quanto tempo levará para o tanque ficar vazio?
Obs.: .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um tanque de petróleo que é um cilindro com raio de 3 metros e altura de 5 metros. O petróleo começa a sair do tanque através de um buraco no fundo a uma taxa de 9 metros cúbicos por hora. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
  1. Com que velocidade o nível do petróleo está descendo, ou seja, qual é a taxa de variação da altura do petróleo no tanque.
  2. Quanto tempo vai levar para todo o petróleo sair do tanque.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula do volume de um cilindro, que é , onde é o raio da base e é a altura.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a taxa de saída do petróleo com a taxa de variação da altura. Sabemos que o volume está mudando a uma taxa de (negativo porque o volume está diminuindo).
Usando a fórmula do volume:
Como o raio é constante, podemos derivar ambos os lados em relação ao tempo :

Passo 3

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação derivada. Sabemos que:
Então:

Passo 4

Agora, isolamos para encontrar a taxa de variação da altura:
Isso significa que a altura do petróleo está descendo a uma taxa de .

Passo 5

Agora, vamos calcular quanto tempo levará para o tanque ficar vazio. Inicialmente, a altura do petróleo é . Sabemos que a altura está diminuindo a uma taxa de .
Para encontrar o tempo , usamos:
Como a altura final será 0:

Resposta

A altura do petróleo desce a uma taxa de e levará horas (aproximadamente 15,71 horas) para o tanque ficar vazio.

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Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(a) $ tcost, tsent com .
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .
Calcule a área delimitada pela curva .