Um tanque cheio de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto de 3 m de raio da base e 5 m de altura. No tempo
o petróleo começa a escoar por um orifício no fundo do tanque à razão de
. Com que velocidade o nível de petróleo desce? Quanto tempo levará para o tanque ficar vazio?
Obs.:
.
Obs.:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um tanque de petróleo que é um cilindro com raio de 3 metros e altura de 5 metros. O petróleo começa a sair do tanque através de um buraco no fundo a uma taxa de 9 metros cúbicos por hora. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
- Com que velocidade o nível do petróleo está descendo, ou seja, qual é a taxa de variação da altura do petróleo no tanque.
- Quanto tempo vai levar para todo o petróleo sair do tanque.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula do volume de um cilindro, que é
, onde
é o raio da base e
é a altura.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a taxa de saída do petróleo com a taxa de variação da altura. Sabemos que o volume está mudando a uma taxa de
(negativo porque o volume está diminuindo).
Usando a fórmula do volume:
Como o raio
é constante, podemos derivar ambos os lados em relação ao tempo
:
Passo 3
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação derivada. Sabemos que:
Então:
Passo 4
Agora, isolamos
para encontrar a taxa de variação da altura:
Isso significa que a altura do petróleo está descendo a uma taxa de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular quanto tempo levará para o tanque ficar vazio. Inicialmente, a altura do petróleo é
. Sabemos que a altura está diminuindo a uma taxa de
.
Para encontrar o tempo
, usamos:
Como a altura final será 0:
Resposta
A altura do petróleo desce a uma taxa de
e levará
horas (aproximadamente 15,71 horas) para o tanque ficar vazio.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(a) $ tcost, tsent
com
.
$(a) $
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Calcule a área delimitada pela curva
.