Calcule a área delimitada pela curva .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a curva definida pela equação e precisamos calcular a área que essa curva delimita. Para resolver isso, vamos usar o conceito de **coordenadas polares** e **integração** para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização: Isso nos mostra que só é real quando , ou seja, quando está entre e , e , etc.

Passo 3

A curva é conhecida como uma rosa de quatro pétalas porque a função cria quatro ciclos completos no intervalo de a . Isso significa que podemos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar por quatro para obter a área total.

Passo 4

A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é: Aqui, , então substituímos na fórmula: Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular a integral: Aplicando os limites de a : Então, a área total fica:

Resposta

A área delimitada pela curva é **18 unidades de área**.

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