Calcule a área delimitada pela curva .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a curva definida pela equação e precisamos calcular a área que essa curva delimita. Para resolver isso, vamos usar o conceito de **coordenadas polares** e **integração** para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Isso nos mostra que só é real quando , ou seja, quando está entre e , e , etc.
Passo 3
A curva é conhecida como uma rosa de quatro pétalas porque a função cria quatro ciclos completos no intervalo de a . Isso significa que podemos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar por quatro para obter a área total.
Passo 4
A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
Aqui, , então substituímos na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de a :
Então, a área total fica:
Resposta
A área delimitada pela curva é **18 unidades de área**.
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Obs.: .
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