Calcule a área delimitada pelo eixo x, as retas x=0, x=2 e o gráfico de f(x) = x(2x - 3)(x - 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área que está delimitada pelo eixo , pelas linhas verticais e , e pelo gráfico da função . Isso envolve um pouco de cálculo de integrais, que é o conteúdo principal que vamos usar aqui. Basicamente, vamos encontrar a área entre essas curvas dentro do intervalo de a .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o trabalho. Vamos expandir os termos:
Vamos multiplicar por :
Agora, multiplicamos por :

Passo 3

Agora que temos a função simplificada, precisamos entender onde ela está em relação ao eixo dentro do intervalo de a . Vamos observar os valores de nesses pontos:
Para :
Para :
Isso mostra que a função cruza o eixo nos pontos e , que são os limites que nos foram dados. Portanto, entre esses pontos, a área que queremos é a região entre o gráfico de e o eixo .

Passo 4

Para encontrar a área entre a curva e o eixo , usamos a integral definida da função de até . A integral vai nos dar a “soma” de todas as pequenas áreas sob o gráfico da função. A expressão fica assim:
Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites e e subtraímos os resultados:
Para :
Vamos simplificar:
Para :
Finalmente, a área é:

Resposta

A área delimitada pelas curvas e linhas dadas é unidades de área.

Exercícios relacionados