Verdadeiro ou falso? (integral0^x f(t) d t)^prime=(integral1^x f(t) d t)^prime

Passo 1

Então, a gente tem uma afirmação que diz: (integral0^x f(t) , dt)^prime = (integral1^x f(t) , dt)^prime. Nosso objetivo aqui é descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a entender como derivar integrais que têm variáveis nos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Ele estabelece que se você tem uma função definida por uma integral, digamos, F(x) = integrala^x f(t) , dt, então a derivada dessa função em relação a x é simplesmente a função dentro da integral avaliada em x. Ou seja, F'(x) = f(x).

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às duas integrais que temos na afirmação.
Para a primeira parte, (integral0^x f(t) , dt)^prime, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a x é f(x).
Já para a segunda parte, (integral1^x f(t) , dt)^prime, aplicando o mesmo teorema, a derivada também é f(x).

Passo 4

Perceba que, apesar dos limites inferiores das integrais serem diferentes (0 e 1), a derivada em relação a x depende apenas da função integranda avaliada no ponto x. Isso significa que, independentemente de onde a integral começa, desde que o limite superior seja x, a derivada será sempre f(x).

Resposta

Verdadeiro.

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