Verdadeiro ou falso?
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação que diz:
. Nosso objetivo aqui é descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a entender como derivar integrais que têm variáveis nos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Ele estabelece que se você tem uma função definida por uma integral, digamos,
, então a derivada dessa função em relação a
é simplesmente a função dentro da integral avaliada em
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso às duas integrais que temos na afirmação.
Para a primeira parte,
, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a
é
.
Já para a segunda parte,
, aplicando o mesmo teorema, a derivada também é
.
Passo 4
Perceba que, apesar dos limites inferiores das integrais serem diferentes (0 e 1), a derivada em relação a
depende apenas da função integranda avaliada no ponto
. Isso significa que, independentemente de onde a integral começa, desde que o limite superior seja
, a derivada será sempre
.
Resposta
Verdadeiro.