Verdadeiro ou falso? integral0^x f^prime(t) d t=f(x) somente se f(0)=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão: estamos perguntando se a integral de de 0 até é igual a somente quando . Vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga derivadas e integrais.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se integrala^b f(t) dt = F(b) - F(a) é contínua em e é uma primitiva de , então:
No nosso caso, é a derivada de , então é uma primitiva de .

Passo 3

Aplicando o teorema, temos:
integral0^x f^prime(t) dt = f(x) - f(0)
Isso significa que a integral de de 0 até é igual a menos .

Passo 4

A questão pergunta se:
integral0^x f^prime(t) dt = f(x)
Só acontece quando f(x) - f(0) = f(x) . Isso porque, comparando com a equação que obtivemos:
Para isso ser verdadeiro, precisa ser zero.

Resposta

Verdadeiro. A igualdade só ocorre se .

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