Calcule a área delimitada pelas parábolas y = 6x - x^2 e y = x^2 - 2x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada pelas parábolas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar a área entre duas curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas parábolas se interceptam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas. Para isso, igualamos as duas equações:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as parábolas se cruzam.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 5

Com os pontos de interseção encontrados ( e ), vamos identificar qual das duas parábolas está acima da outra nesse intervalo. Para isso, escolhemos um valor de entre 0 e 4, por exemplo, , e substituímos nas duas equações:
Para :
Para :
Como , percebemos que está acima de no intervalo de a .

Passo 6

Agora que sabemos qual função está acima, podemos calcular a área entre as curvas usando a seguinte fórmula de integração:
Áçãçã
Onde e . Substituindo as funções:
Á

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma área definida, não precisamos do termo constante . Avaliamos a integral de 0 a 4:
Á

Passo 9

Substituindo os limites de integração:
Para :
Para :

Resposta

A área delimitada pelas parábolas e é unidades de área.

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