Calcule a área delimitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada pelas parábolas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar a área entre duas curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas parábolas se interceptam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas. Para isso, igualamos as duas equações:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as parábolas se cruzam.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 5
Com os pontos de interseção encontrados (
e
), vamos identificar qual das duas parábolas está acima da outra nesse intervalo. Para isso, escolhemos um valor de
entre 0 e 4, por exemplo,
, e substituímos nas duas equações:
Para
:
Para
:
Como
, percebemos que
está acima de
no intervalo de
a
.
Passo 6
Agora que sabemos qual função está acima, podemos calcular a área entre as curvas usando a seguinte fórmula de integração:
Onde
e
. Substituindo as funções:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma área definida, não precisamos do termo constante
. Avaliamos a integral de 0 a 4:
Passo 9
Substituindo os limites de integração:
Para
:
Para
:
Resposta
A área delimitada pelas parábolas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a área delimitada pelas curvas
e
.
Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
.
Calcule as integrais definidas:
Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: