Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenvolvermos a série de Fourier da função dada e fazer o seu prolongamento periódico. A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série e aplicar as fórmulas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo em que a função está definida. A função
é dada por:
Esse intervalo
será o nosso período
, ou seja,
. A frequência fundamental
é dada por:
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
, que representa a média da função no período. A fórmula para
é:
Isso nos dará a parte constante da série de Fourier.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que multiplicam os cossenos na série. A fórmula é:
Para cada inteiro
, vamos integrar a função
multiplicada pelo cosseno correspondente.
Passo 5
Em seguida, calculamos os coeficientes
, que multiplicam os senos na série. A fórmula é:
Assim como os
, para cada
, integramos
vezes o seno correspondente.
Passo 6
Vamos separar as integrais nos intervalos onde a função
é definida de forma diferente:
Fazemos isso para facilitar os cálculos de
,
e
.
Passo 7
Depois de calcular todos os coeficientes
,
e
, construímos a série de Fourier da função
:
Essa é a representação em série de Fourier da função dada, estendida periodicamente com período
.
Resposta
A série de Fourier da função
é:
onde os coeficientes
,
e
são calculados conforme mostrado nos passos anteriores.
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e
.
Calcule a área delimitada pelas parábolas
e
.