Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
f(x) = { 1 se -5 < x < 0; 1 + x se 0 <= x < 5 }.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenvolvermos a série de Fourier da função dada e fazer o seu prolongamento periódico. A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série e aplicar as fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo em que a função está definida. A função é dada por:
Esse intervalo será o nosso período , ou seja, . A frequência fundamental é dada por:

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Isso nos dará a parte constante da série de Fourier.

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os cossenos na série. A fórmula é:
Para cada inteiro , vamos integrar a função multiplicada pelo cosseno correspondente.

Passo 5

Em seguida, calculamos os coeficientes , que multiplicam os senos na série. A fórmula é:
Assim como os , para cada , integramos vezes o seno correspondente.

Passo 6

Vamos separar as integrais nos intervalos onde a função é definida de forma diferente:
Fazemos isso para facilitar os cálculos de , e .

Passo 7

Depois de calcular todos os coeficientes , e , construímos a série de Fourier da função :
Essa é a representação em série de Fourier da função dada, estendida periodicamente com período .

Resposta

A série de Fourier da função é:
onde os coeficientes , e são calculados conforme mostrado nos passos anteriores.

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