Calcule a área delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos calcular a área delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar a área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual das funções está acima da outra no intervalo de
a
. Sabemos que
é uma função exponencial que cresce mais rapidamente que a função linear
. Vamos verificar em
e
:
- Em
: e . Então, . - Em
: e . Novamente, .
Portanto,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 3
A área entre duas curvas pode ser encontrada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo. Neste caso, a área
é dada por:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Agora, calculamos cada integral separadamente.
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 6
Calculando a segunda integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 7
Agora, subtraímos as duas áreas encontradas:
Resposta
A área delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
.
Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo:
Calcule a área delimitada pelas parábolas
e
.
Calcule as integrais definidas: