Calcule a área delimitada pelas curvas y = e^x, y = x, x = 0 e x = 1.

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos calcular a área delimitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual das funções está acima da outra no intervalo de a . Sabemos que é uma função exponencial que cresce mais rapidamente que a função linear . Vamos verificar em e :
  • Em : e . Então, .
  • Em : e . Novamente, .
Portanto, está acima de nesse intervalo.

Passo 3

A área entre duas curvas pode ser encontrada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo. Neste caso, a área é dada por:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Agora, calculamos cada integral separadamente.

Passo 5

Calculando a primeira integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 6

Calculando a segunda integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 7

Agora, subtraímos as duas áreas encontradas:

Resposta

A área delimitada pelas curvas é unidades de área.

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