Calcule a área limitada pelas curvas:
e
, utilizando integral dupla.
Passo 1
Vamos calcular a área delimitada pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que nos ajuda a encontrar áreas em regiões planas. Precisaremos entender como essas curvas se intersectam e definir os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
:
Isso significa que as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, observamos que a linha vertical
está à direita de
. Como
cresce à medida que
aumenta, para
,
fica acima de
. Portanto, a área que queremos calcular está entre
,
, e a linha vertical
.
Passo 4
Para calcular a área usando uma integral dupla, vamos definir os limites de integração. Vamos dividir a região em duas partes:
- Parte 1: De
a , onde varia de a . - Parte 2: De
a , onde varia de a .
Passo 5
Vamos montar as integrais para cada parte:
Primeiro, resolvemos a primeira integral:
Integrando:
Avaliado de
a
:
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda integral:
Integrando:
Avaliado de
a
:
Resposta
A área limitada pelas curvas
,
e
é:
Ou, simplificando:
Exercícios relacionados
Calcule
em que
é a região limitada:
Pela elipse .
Pela elipse
Considere a função
e calcule a integral dupla
em que
é a região limitada:
.
Mostre que resolver
, onde A é matriz
e B são matrizes
, é o mesmo que resolver
sistemas do tipo
, onde
é matriz
e
, vetores
.
Entre o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU, qual o mais indicado para o cálculo de
?