Calcule a área limitada pelas curvas: e , utilizando integral dupla.

Passo 1

Vamos calcular a área delimitada pelas curvas , e . Para isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que nos ajuda a encontrar áreas em regiões planas. Precisaremos entender como essas curvas se intersectam e definir os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Isso significa que as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, observamos que a linha vertical está à direita de . Como cresce à medida que aumenta, para , fica acima de . Portanto, a área que queremos calcular está entre , , e a linha vertical .

Passo 4

Para calcular a área usando uma integral dupla, vamos definir os limites de integração. Vamos dividir a região em duas partes:
  1. Parte 1: De a , onde varia de a .
  2. Parte 2: De a , onde varia de a .

Passo 5

Vamos montar as integrais para cada parte:
Á
Primeiro, resolvemos a primeira integral:
Integrando:
Avaliado de a :

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral:
Integrando:
Avaliado de a :

Resposta

A área limitada pelas curvas , e é:
Á
Ou, simplificando:
Áá

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