Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pela elipse dada por . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas e mudanças de coordenadas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A equação representa uma elipse. Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma essa elipse em um círculo mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Vamos fazer a seguinte substituição:
Com isso, a equação da elipse fica:
Agora, a região se transforma em um círculo unitário no plano .
Passo 4
Precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação para ajustar a área na nova coordenada. O Jacobiano é dado por:
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral original usando as novas coordenadas:
Onde é o círculo unitário .
Passo 6
Observamos que a função é ímpar em relação ao eixo . Como o círculo é simétrico em relação ao eixo , a integral de sobre será zero, pois as áreas positivas e negativas se cancelam.