Calcule
integral duplaR 2 x d A
em que R é a região limitada:
Pela elipse x^24+y^29=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pela elipse dada por . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas e mudanças de coordenadas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa uma elipse. Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma essa elipse em um círculo mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
x = 2u e y = 3v
Com isso, a equação da elipse fica:
(2u)^24 + (3v)^29 = 4u^24 + 9v^29 = u^2 + v^2 = 1
Agora, a região se transforma em um círculo unitário no plano .

Passo 4

Precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação para ajustar a área na nova coordenada. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 2 & 0 0 & 3 = 2 times 3 - 0 times 0 = 6 é dado por:

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral original usando as novas coordenadas:
integral duplaR 2x , dA = integral duplaC 2(2u) times J , du , dv = integral duplaC 4u times 6 , du , dv = integral duplaC 24u , du , dv
Onde é o círculo unitário .

Passo 6

Observamos que a função é ímpar em relação ao eixo . Como o círculo é simétrico em relação ao eixo , a integral de sobre será zero, pois as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 7

Portanto, a integral se simplifica para:
integral duplaC 24u , du , dv = 24 times 0 = 0

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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