Calcule
em que é a região limitada:
Pela elipse .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pela elipse dada por . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas e mudanças de coordenadas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa uma elipse. Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma essa elipse em um círculo mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
Com isso, a equação da elipse fica:
Agora, a região se transforma em um círculo unitário no plano .

Passo 4

Precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação para ajustar a área na nova coordenada. O Jacobiano é dado por:

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral original usando as novas coordenadas:
Onde é o círculo unitário .

Passo 6

Observamos que a função é ímpar em relação ao eixo . Como o círculo é simétrico em relação ao eixo , a integral de sobre será zero, pois as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 7

Portanto, a integral se simplifica para:

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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em que é a região limitada:
.
Calcule
em que é a região limitada:
Pela elipse .
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