Considere a função f(x, y)=2 x+3 y+6 e calcule a integral dupla
integral duplaR f(x, y) d A
em que R é a região limitada:
R=(x, y) mid 0 <= x <= 5,2 <= y <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla da função sobre a região que está delimitada por e . Basicamente, vamos somar todas as infinitesimais da função nessa área retangular usando cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser calculada decompondo-a em integrais simples. A fórmula geral para uma integral dupla é:
integral duplaR f(x, y) , dA = integrala^b ( integralc^d f(x, y) , dy ) dx
Aqui, e são os limites para , e e são os limites para .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
integral duplaR (2x + 3y + 6) , dA = integral0^5 ( integral2^4 (2x + 3y + 6) , dy ) dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .

Passo 4

Calculando a integral interna:
integral2^4 (2x + 3y + 6) , dy = integral2^4 2x , dy + integral2^4 3y , dy + integral2^4 6 , dy
Integrando cada termo:
= 2x(y) |2^4 + 32y^2 |2^4 + 6y |2^4
Calculando os limites:
= 2x(4 - 2) + 32(16 - 4) + 6(4 - 2)
= 2x(2) + 32(12) + 6(2)
= 4x + 18 + 12
= 4x + 30

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^5 (4x + 30) , dx = integral0^5 4x , dx + integral0^5 30 , dx :
= 2x^2 |0^5 + 30x |0^5
Integrando cada termo:
= 2(25 - 0) + 30(5 - 0)
= 50 + 150
= 200

Resposta

A integral dupla de sobre a região é igual a 200.

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