Considere a função e calcule a integral dupla
em que é a região limitada:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla da função sobre a região que está delimitada por e . Basicamente, vamos somar todas as infinitesimais da função nessa área retangular usando cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser calculada decompondo-a em integrais simples. A fórmula geral para uma integral dupla é:
Aqui, e são os limites para , e e são os limites para .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .

Passo 4

Calculando a integral interna:
Integrando cada termo:
Calculando os limites:

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a :
Integrando cada termo:

Resposta

A integral dupla de sobre a região é igual a 200.

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Calcule
em que é a região limitada:
Pela elipse .
Considere a função e calcule a integral dupla
em que é a região limitada:
.
Calcule
em que é a região limitada:
Pela elipse .
Calcule a área limitada pelas curvas: e , utilizando integral dupla.