Mostre que resolver AX = B, onde A é matriz n * n, X e B são matrizes n * m, é o mesmo que resolver m sistemas do tipo A x = b, onde A é matriz n * n, x e b, vetores n * 1.

Passo 1

Beleza! A gente vai mostrar que resolver a equação matricial , onde é uma matriz e e são matrizes , é a mesma coisa que resolver sistemas individuais da forma , onde é uma matriz e e são vetores . Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como matrizes podem representar vários desses sistemas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de tamanho pode ser vista como tendo colunas, onde cada coluna é um vetor de tamanho . Da mesma forma, tem colunas, cada uma sendo um vetor de tamanho .

Passo 3

A equação matricial significa que estamos multiplicando a matriz pela matriz . Quando fazemos essa multiplicação, cada coluna de é multiplicada pela matriz e resulta em cada coluna correspondente de . Ou seja, para cada de 1 até :

Passo 4

Isso nos mostra que a equação matricial na verdade representa equações vetoriais individuais, cada uma do tipo . Cada um desses sistemas é independente e pode ser resolvido separadamente para encontrar cada vetor .

Passo 5

Portanto, resolver a matriz é equivalente a resolver cada um dos sistemas lineares individualmente. Cada solução corresponde a uma coluna de que, ao ser multiplicada por , resulta na respectiva coluna de .

Resposta

Assim, mostramos que resolver a equação matricial é o mesmo que resolver sistemas lineares individuais da forma .

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