Calcule a área do plano limitada pela reta y = x, e pelo gráfico y = x^3, com -1 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área delimitada pela reta e pelo gráfico , no intervalo de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de área entre curvas, que envolve integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas curvas que estamos lidando:
  • A reta
  • A curva cúbica
Nosso objetivo é encontrar a área que essas duas curvas formam entre e .

Passo 3

Agora, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Isso é importante porque a área entre elas será a diferença entre as funções. Para isso, vamos comparar os valores das funções no intervalo dado.

Passo 4

Vamos verificar alguns pontos:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Parece que as duas funções se cruzam nos pontos e . Para entender qual está acima no intervalo, vamos analisar entre esses pontos.

Passo 5

Vamos observar o comportamento das funções entre e . Para facilitar, calculamos a diferença entre as funções:
Se essa diferença for positiva, significa que está acima de .

Passo 6

Para encontrar a área, configuramos a integral da diferença das duas funções no intervalo de a :
Á
Vamos resolver essa integral:
Primeiro, calculamos a antiderivada:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Á
O resultado deu zero porque as áreas positivas e negativas se cancelam. Para evitar isso, podemos calcular a área de a e depois dobrar o resultado, já que a função é simétrica.
Então:
Á

Resposta

A área delimitada pelas curvas e no intervalo de é igual a unidades de área.

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