Calcule a área do plano limitada pela reta
, e pelo gráfico
, com
1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área delimitada pela reta
e pelo gráfico
, no intervalo de
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de área entre curvas, que envolve integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas curvas que estamos lidando:
- A reta
- A curva cúbica
Nosso objetivo é encontrar a área que essas duas curvas formam entre
e
.
Passo 3
Agora, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Isso é importante porque a área entre elas será a diferença entre as funções. Para isso, vamos comparar os valores das funções no intervalo dado.
Passo 4
Vamos verificar alguns pontos:
-
Em
: -
Em
: -
Em
:
Parece que as duas funções se cruzam nos pontos
e
. Para entender qual está acima no intervalo, vamos analisar entre esses pontos.
Passo 5
Vamos observar o comportamento das funções entre
e
. Para facilitar, calculamos a diferença entre as funções:
Se essa diferença for positiva, significa que
está acima de
.
Passo 6
Para encontrar a área, configuramos a integral da diferença das duas funções no intervalo de
a
:
Vamos resolver essa integral:
Primeiro, calculamos a antiderivada:
Agora, aplicamos os limites de integração:
O resultado deu zero porque as áreas positivas e negativas se cancelam. Para evitar isso, podemos calcular a área de
a
e depois dobrar o resultado, já que a função é simétrica.
Então:
Resposta
A área delimitada pelas curvas
e
no intervalo de
é igual a
unidades de área.