Encontre a solução geral de EDO dada abaixo:
a) y'' - 2y' + 2y = 0
b) 9 y'' + 6 y' + y = 0
c) 4y'' + 12y' + 9y = 0
d) y'' + 6y' + 13y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem . Isso entra no conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica. Substituímos por , por e por 1 na EDO:
Essa é uma equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os valores de .

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, as soluções serão números complexos.

Passo 4

Simplificamos a expressão com a raiz negativa:
Então, as raízes da equação característica são complexas conjugadas: e .

Passo 5

Quando as raízes são da forma , a solução geral da EDO é:
Aqui, e .

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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