Determine a série de Fourier para a função
f(x) = { 0, se -2 < x < -1; 1, se -1 < x < 1; 0, se 1 < x < 2 }
Faça o gráfico da série obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para uma função que está definida de forma diferente em certos intervalos. Isso envolve entender como decompor uma função periódica em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular alguns coeficientes específicos que fazem parte da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Olhando para a função , vemos que ela se repete a cada intervalo de a , então o período é .

Passo 3

Em seguida, calculamos a frequência angular fundamental, que é dada por:

Passo 4

Agora, vamos determinar o coeficiente , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Substituindo e , temos:

Passo 5

Agora, calculamos os coeficientes , que multiplicam os cossenos na série. A fórmula é:
Devido à simetria da função, podemos simplificar a integral:
Resolvendo a integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os senos na série. A fórmula é:
Observando a função , vemos que ela é par (simétrica em relação ao eixo y), e como o seno é ímpar, a integral de uma função par vezes uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:

Passo 7

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier da função fica:
Substituindo e :

Passo 8

Por fim, vamos fazer o gráfico da série de Fourier obtida. A série representa a aproximação da função original usando uma soma infinita de cossenos. No gráfico, você verá que, à medida que adicionamos mais termos da série, ela se aproxima mais da forma original da função, mostrando suas transições entre os valores 0 e 1.

Resposta

A série de Fourier para a função é dada por:
í
E o gráfico da série resultante aproxima a função original com maior precisão à medida que mais termos são incluídos.

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