Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para uma função que está definida de forma diferente em certos intervalos. Isso envolve entender como decompor uma função periódica em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular alguns coeficientes específicos que fazem parte da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Olhando para a função , vemos que ela se repete a cada intervalo de a , então o período é .
Passo 3
Em seguida, calculamos a frequência angular fundamental, que é dada por:
Passo 4
Agora, vamos determinar o coeficiente , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Substituindo e , temos:
Passo 5
Agora, calculamos os coeficientes , que multiplicam os cossenos na série. A fórmula é:
Devido à simetria da função, podemos simplificar a integral:
Resolvendo a integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os senos na série. A fórmula é:
Observando a função , vemos que ela é par (simétrica em relação ao eixo y), e como o seno é ímpar, a integral de uma função par vezes uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:
Passo 7
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier da função fica:
Substituindo e :
Passo 8
Por fim, vamos fazer o gráfico da série de Fourier obtida. A série representa a aproximação da função original usando uma soma infinita de cossenos. No gráfico, você verá que, à medida que adicionamos mais termos da série, ela se aproxima mais da forma original da função, mostrando suas transições entre os valores 0 e 1.
Resposta
A série de Fourier para a função é dada por:
í
E o gráfico da série resultante aproxima a função original com maior precisão à medida que mais termos são incluídos.