Calcule a área do conjunto de todos os (x, y) tais que 0 <= y <= sen(x), com 0 <= x <= 2 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a área de todos os pontos que satisfazem e . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente integração definida, para encontrar áreas delimitadas por curvas.

Passo 2

Para calcular a área entre duas curvas ou entre uma curva e o eixo , usamos a integral definida. A fórmula básica para a área é:
Neste caso, , e .

Passo 3

Vamos configurar a integral com os limites dados:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma área definida.

Passo 5

Aplicamos os limites de integração à antiderivada:

Passo 6

Calculamos os valores de e . Sabemos que:
Substituindo esses valores:

Passo 7

Percebi que o resultado deu zero, o que não faz sentido para uma área. Isso acontece porque a função está positiva e negativa no intervalo de a . Para encontrar a área total, precisamos considerar apenas a parte positiva da função. Então, vamos dividir a integral em duas partes onde é positiva e negativa.

Passo 8

Sabemos que é positiva entre e e negativa entre e . Então, a área total será:

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 10

Somamos as duas áreas:

Resposta

A área do conjunto de todos os que satisfazem e é igual a 4 unidades de área.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, utilize a Fórmula de Euler para reescrever a expressão dada na forma a + b i :
a) e^(2-3 i)
b) e^(2 - (pi / 2) i)
c) e^(1+2 i)
Calcule a área do plano limitada pelas retas x=1, x=3, pelo eixo x, e pelo gráfico de f(x) = raiz(x)
Encontre a solução geral de EDO dada abaixo:
a) y'' - 2y' + 2y = 0
b) 9 y'' + 6 y' + y = 0
c) 4y'' + 12y' + 9y = 0
d) y'' + 6y' + 13y = 0
Calcule a área do plano limitada pela reta y = x, e pelo gráfico y = x^3, com -1 <= x <= 1