Calcule a área do conjunto de todos os
tais que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a área de todos os pontos
que satisfazem
e
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente integração definida, para encontrar áreas delimitadas por curvas.
Passo 2
Para calcular a área entre duas curvas ou entre uma curva e o eixo
, usamos a integral definida. A fórmula básica para a área
é:
Neste caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos configurar a integral com os limites dados:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a antiderivada de
. Sabemos que:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma área definida.
Passo 5
Aplicamos os limites de integração à antiderivada:
Passo 6
Calculamos os valores de
e
. Sabemos que:
Substituindo esses valores:
Passo 7
Percebi que o resultado deu zero, o que não faz sentido para uma área. Isso acontece porque a função
está positiva e negativa no intervalo de
a
. Para encontrar a área total, precisamos considerar apenas a parte positiva da função. Então, vamos dividir a integral em duas partes onde
é positiva e negativa.
Passo 8
Sabemos que
é positiva entre
e
e negativa entre
e
. Então, a área total será:
Passo 9
Calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 10
Somamos as duas áreas:
Resposta
A área do conjunto de todos os
que satisfazem
e
é igual a 4 unidades de área.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, utilize a Fórmula de Euler para reescrever a expressão dada na forma
:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Calcule a área do plano limitada pelas retas
, pelo eixo
, e pelo gráfico de
Encontre a solução geral de EDO dada abaixo:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Calcule a área do plano limitada pela reta
, e pelo gráfico
, com
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