Calcule a área da região plana entre os ramos da hipérbole e interior à elipse .
Adjutório: Use a seguinte transformação de coordenadas . No sistema
e curvas com constante são hipérboles, visto que
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para calcular a área da região plana entre os ramos da hipérbole e o interior da elipse . Vamos utilizar uma transformação de coordenadas específica para facilitar os cálculos. Para isso, precisamos entender um pouco sobre hipérboles, elipses e como realizar integrações usando mudanças de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação de coordenadas fornecida:
Aqui, e são funções hiperbólicas, que são úteis para representar curvas como hipérboles. Com essa transformação, conseguimos reescrever as equações da elipse e da hipérbole de forma mais simples.
Passo 3
Substituindo e na equação da elipse :
Simplificando:
Isso nos leva à relação:
o que confirma que a transformação está correta para representar a elipse.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a equação da hipérbole usando a mesma transformação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Usando a identidade hiperbólica , conseguimos simplificar a expressão.
Passo 5
Para encontrar a área da região requerida, podemos utilizar a integral dupla em coordenadas e . Precisamos determinar os limites de integração que correspondem à interseção da elipse e da hipérbole.
Como as curvas se intersectam quando , nossos limites serão de até algum valor que satisfaz a condição da interseção. Contudo, devido à simetria das curvas, podemos considerar apenas uma parte e multiplicar por 4 para obter a área total.
Passo 6
Ajacente à transformação de coordenadas, precisamos calcular o determinante do Jacobiano para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 7
A área pode ser calculada pela integral dupla:
Substituindo o Jacobiano:
Integrando em :
Então:
Passo 8
Utilizando as identidades hiperbólicas:
Assim:
Portanto, a integral fica:
Resposta
A área da região plana entre os ramos da hipérbole e o interior da elipse é .