Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada
da função incógnita
para cada EDO/PVI a seguir.
, em que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem:
Além disso, temos algumas condições iniciais:
O objetivo aqui é encontrar a transformada de Laplace da função desconhecida
, que vamos chamar de
. Para isso, vamos usar o teorema da derivada na transformada de Laplace e outras propriedades dessa transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Vamos aplicar isso para cada termo da equação.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial:
Usando a fórmula das derivadas:
Passo 4
Substituímos os valores das condições iniciais:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam:
Passo 5
Vamos agrupar os termos que envolvem
:
Isolando
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Expandindo o numerador:
Portanto:
Passo 7
Podemos simplificar essa fração dividindo termo a termo: