Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada da função incógnita para cada EDO/PVI a seguir.
, em que

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem:
Além disso, temos algumas condições iniciais:
O objetivo aqui é encontrar a transformada de Laplace da função desconhecida , que vamos chamar de . Para isso, vamos usar o teorema da derivada na transformada de Laplace e outras propriedades dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Vamos aplicar isso para cada termo da equação.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial:
Usando a fórmula das derivadas:

Passo 4

Substituímos os valores das condições iniciais:
Simplificando:
Os termos e se cancelam:

Passo 5

Vamos agrupar os termos que envolvem :
Isolando :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Expandindo o numerador:
Portanto:

Passo 7

Podemos simplificar essa fração dividindo termo a termo:

Resposta

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Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada da função incógnita para cada EDO/PVI a seguir.

Res.: ;
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, em que e . Res.: ;
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