Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada F(s) da função incógnita f(x) para cada EDO/PVI a seguir.
d^3 f(x)d x^3-d f(x)d x=sen x, em que
f(0)=1, & f^prime(0)=0 e f^prime prime(0)=1 Res: & F(s)=1s(s^2-1)(s^2+1)+ss^2-1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem:
d^3 f(x)d x^3 - d f(x)d x = sin(x)
Além disso, temos algumas condições iniciais:
f(0) = 1, f^prime(0) = 0, f^prime prime(0) = 1
O objetivo aqui é encontrar a transformada de Laplace da função desconhecida , que vamos chamar de . Para isso, vamos usar o teorema da derivada na transformada de Laplace e outras propriedades dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Lf^(n)(x) = s^nF(s) - s^n-1f(0) - s^n-2f^prime(0) - dots - f^(n-1)(0)
Vamos aplicar isso para cada termo da equação.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial:
Ld^3 f(x)d x^3 - Ld f(x)d x = Lsin(x)
Usando a fórmula das derivadas:
s^3F(s) - s^2f(0) - s f^prime(0) - f^prime prime(0) - ( sF(s) - f(0) ) = 1s^2 + 1

Passo 4

Substituímos os valores das condições iniciais:
s^3F(s) - s^2(1) - s(0) - (1) - ( sF(s) - 1 ) = 1s^2 + 1
Simplificando:
s^3F(s) - s^2 - 1 - sF(s) + 1 = 1s^2 + 1
Os termos s^3F(s) - s^2 - sF(s) = 1s^2 + 1 e se cancelam:

Passo 5

Vamos agrupar os termos que envolvem F(s)(s^3 - s) - s^2 = 1s^2 + 1 :
F(s)(s^3 - s) = 1s^2 + 1 + s^2
Isolando F(s) = 1s^2 + 1 + s^2s^3 - s :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
F(s) = 1 + s^2(s^2 + 1)s(s^2 - 1)(s^2 + 1)
Expandindo o numerador:
1 + s^4 + s^2 = s^4 + s^2 + 1
Portanto:
F(s) = s^4 + s^2 + 1s(s^2 - 1)(s^2 + 1)

Passo 7

Podemos simplificar essa fração dividindo termo a termo:
F(s) = 1s(s^2 - 1)(s^2 + 1) + ss^2 - 1

Resposta

F(s) = 1s(s^2-1)(s^2+1) + ss^2-1

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