Calcule a área da região entre e , utilizando o conceito de integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região delimitada por , e . Vamos usar o conceito de integrais, que é uma ferramenta matemática para encontrar áreas sob curvas. Precisamos entender como configurar a integral para calcular essa área específica.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que estamos calculando. Temos a curva , que é uma função que diminui à medida que aumenta. A linha é uma linha vertical que corta essa curva, e é o eixo , que funciona como limite inferior. Estamos interessados na área entre esses limites.
Passo 3
Para calcular essa área, vamos usar a integral definida, que nos permite calcular a área entre duas curvas ou entre uma curva e o eixo em um intervalo específico. A fórmula geral para a integral definida de uma função de até é:
No nosso caso, , e tende ao infinito, já que queremos considerar toda a área até onde a curva se aproxima de .
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral:
Essa integral representa a soma infinita das pequenas áreas sob a curva desde até o infinito.
Passo 5
Para resolver a integral, precisamos encontrar a antiderivada de . Reescrevendo como , a antiderivada é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração à antiderivada encontrada: