Calcule a área da região entre x=3, y=0 e y = 1/x^2, utilizando o conceito de integrais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região delimitada por , e . Vamos usar o conceito de integrais, que é uma ferramenta matemática para encontrar áreas sob curvas. Precisamos entender como configurar a integral para calcular essa área específica.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que estamos calculando. Temos a curva , que é uma função que diminui à medida que aumenta. A linha é uma linha vertical que corta essa curva, e é o eixo , que funciona como limite inferior. Estamos interessados na área entre esses limites.

Passo 3

Para calcular essa área, vamos usar a integral definida, que nos permite calcular a área entre duas curvas ou entre uma curva e o eixo em um intervalo específico. A fórmula geral para a integral definida de uma função de até é:
No nosso caso, , e tende ao infinito, já que queremos considerar toda a área até onde a curva se aproxima de .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral:
Á
Essa integral representa a soma infinita das pequenas áreas sob a curva desde até o infinito.

Passo 5

Para resolver a integral, precisamos encontrar a antiderivada de . Reescrevendo como , a antiderivada é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração à antiderivada encontrada:
Á

Passo 7

Calculando os limites:

Passo 8

Somando os resultados:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

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