Encontrar a série de Laurent da função
na vizinhança do ponto
para:
а)
а)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Laurent da função
perto do ponto
. Pra resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno e algumas manhas de álgebra para chegar na série de Laurent.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor do cosseno. A série de Taylor de
em torno de 0 é:
Essa série é válida para todo
, pois o cosseno é uma função analítica em todo o plano complexo.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Isso simplifica a expressão, retirando o 1.
Passo 4
A seguir, dividimos
por
para obter
:
Simplificando as potências de
, fica mais fácil de visualizar a série.
Passo 5
Agora, temos a série de Laurent de
em torno de
:
Essa série é válida na vizinhança de
e representa a função
como uma soma infinita de potências de
.
Resposta
A série de Laurent da função
na vizinhança de
é: