Encontrar a série de Laurent da função f(z) na vizinhança do ponto z0 = 0 para:
а) f(z) = (1 - cos(z)) / z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Laurent da função perto do ponto . Pra resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno e algumas manhas de álgebra para chegar na série de Laurent.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor do cosseno. A série de Taylor de em torno de 0 é:
Essa série é válida para todo , pois o cosseno é uma função analítica em todo o plano complexo.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Isso simplifica a expressão, retirando o 1.

Passo 4

A seguir, dividimos por para obter :
Simplificando as potências de , fica mais fácil de visualizar a série.

Passo 5

Agora, temos a série de Laurent de em torno de :
Essa série é válida na vizinhança de e representa a função como uma soma infinita de potências de .

Resposta

A série de Laurent da função na vizinhança de é:

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