Encontrar a série de Laurent da função f(z) na vizinhança do ponto z0 = 0 para:
а) f(z) = (1 - cos(z)) / z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Laurent da função perto do ponto . Pra resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno e algumas manhas de álgebra para chegar na série de Laurent.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor do cosseno. A série de Taylor de em torno de 0 é:
Essa série é válida para todo , pois o cosseno é uma função analítica em todo o plano complexo.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Isso simplifica a expressão, retirando o 1.

Passo 4

A seguir, dividimos por para obter :
Simplificando as potências de , fica mais fácil de visualizar a série.

Passo 5

Agora, temos a série de Laurent de em torno de :
Essa série é válida na vizinhança de e representa a função como uma soma infinita de potências de .

Resposta

A série de Laurent da função na vizinhança de é:

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Considere o vetor u = (1, -1, 4) e o ponto A = (2, 1, 2). Determine o que se pede.
(a) O ponto B, sabendo que AB = u.
(b) O ponto C, sabendo que CA = u.
© O ponto D, sabendo que AD = 2u.
(d) O ponto E, sabendo que 3 * EA = u.
Expresse a área da região limitada pelas curvas
y^2 = x - 1 e y = x - 7
em termos de integrais definidas. Em seguida calcule a área.
Calcule a área da região entre x=3, y=0 e y = 1/x^2, utilizando o conceito de integrais.
Encontrar os zeros da função f(z) e determinar as suas ordens para:
a) f(z) = 1 + cosh(z);