Encontrar a série de Laurent da função na vizinhança do ponto para:
а)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Laurent da função perto do ponto . Pra resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno e algumas manhas de álgebra para chegar na série de Laurent.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor do cosseno. A série de Taylor de em torno de 0 é:
Essa série é válida para todo , pois o cosseno é uma função analítica em todo o plano complexo.
Passo 3
Agora, vamos calcular :
Isso simplifica a expressão, retirando o 1.
Passo 4
A seguir, dividimos por para obter :
Simplificando as potências de , fica mais fácil de visualizar a série.
Passo 5
Agora, temos a série de Laurent de em torno de :
Essa série é válida na vizinhança de e representa a função como uma soma infinita de potências de .