Encontrar os zeros da função f(z) e determinar as suas ordens para:
a) f(z) = 1 + cosh(z);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os zeros da função e determinar a ordem de cada zero. A matéria envolvida aqui é a análise de funções hiperbólicas e a determinação de zeros de funções complexas. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a função cosseno hiperbólico ( ) e como encontrar seus zeros no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico. A função é definida por:
Queremos encontrar os valores de que satisfazem:
Ou seja:

Passo 3

Vamos resolver a equação . Substituindo a definição de :
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Multiplicando toda a equação por para eliminar o denominador:
Reorganizando os termos:

Passo 4

Observamos que a equação é uma equação quadrática em termos de . Vamos fazer a substituição , ficando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem . Sabemos que . Para que , precisamos que:
Isso ocorre quando e , onde é qualquer inteiro.

Passo 6

Assim, os zeros da função são:
Agora, vamos determinar a ordem desses zeros.

Passo 7

Para encontrar a ordem do zero, precisamos verificar a multiplicidade com que cada zero aparece. Calculamos a derivada de :
Avaliando em :
Como a primeira derivada é zero no zero encontrado, o zero pode ser de ordem maior que 1.

Passo 8

Vamos calcular a segunda derivada:
Avaliando em :
Como a segunda derivada é diferente de zero, cada zero é de ordem 2.

Resposta

Os zeros da função são para todo , e cada zero é de ordem 2.

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