Encontrar os zeros da função
e determinar as suas ordens para:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os zeros da função
e determinar a ordem de cada zero. A matéria envolvida aqui é a análise de funções hiperbólicas e a determinação de zeros de funções complexas. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a função cosseno hiperbólico (
) e como encontrar seus zeros no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico. A função
é definida por:
Queremos encontrar os valores de
que satisfazem:
Ou seja:
Passo 3
Vamos resolver a equação
. Substituindo a definição de
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Multiplicando toda a equação por
para eliminar o denominador:
Reorganizando os termos:
Passo 4
Observamos que a equação
é uma equação quadrática em termos de
. Vamos fazer a substituição
, ficando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem
. Sabemos que
. Para que
, precisamos que:
Isso ocorre quando
e
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 6
Assim, os zeros da função
são:
Agora, vamos determinar a ordem desses zeros.
Passo 7
Para encontrar a ordem do zero, precisamos verificar a multiplicidade com que cada zero aparece. Calculamos a derivada de
:
Avaliando em
:
Como a primeira derivada é zero no zero encontrado, o zero pode ser de ordem maior que 1.
Passo 8
Vamos calcular a segunda derivada:
Avaliando em
:
Como a segunda derivada é diferente de zero, cada zero é de ordem 2.
Resposta
Os zeros da função
são
para todo
, e cada zero é de ordem 2.
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e
, utilizando o conceito de integrais.
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para:
а)
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