Encontrar os zeros da função f(z) e determinar as suas ordens para:
a) f(z) = 1 + cosh(z);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os zeros da função e determinar a ordem de cada zero. A matéria envolvida aqui é a análise de funções hiperbólicas e a determinação de zeros de funções complexas. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a função cosseno hiperbólico ( ) e como encontrar seus zeros no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico. A função é definida por:
Queremos encontrar os valores de que satisfazem:
Ou seja:

Passo 3

Vamos resolver a equação . Substituindo a definição de :
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Multiplicando toda a equação por para eliminar o denominador:
Reorganizando os termos:

Passo 4

Observamos que a equação é uma equação quadrática em termos de . Vamos fazer a substituição , ficando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem . Sabemos que . Para que , precisamos que:
Isso ocorre quando e , onde é qualquer inteiro.

Passo 6

Assim, os zeros da função são:
Agora, vamos determinar a ordem desses zeros.

Passo 7

Para encontrar a ordem do zero, precisamos verificar a multiplicidade com que cada zero aparece. Calculamos a derivada de :
Avaliando em :
Como a primeira derivada é zero no zero encontrado, o zero pode ser de ordem maior que 1.

Passo 8

Vamos calcular a segunda derivada:
Avaliando em :
Como a segunda derivada é diferente de zero, cada zero é de ordem 2.

Resposta

Os zeros da função são para todo , e cada zero é de ordem 2.

Exercícios relacionados

Calcule a área da região entre x=3, y=0 e y = 1/x^2, utilizando o conceito de integrais.
Encontrar a série de Laurent da função f(z) na vizinhança do ponto z0 = 0 para:
а) f(z) = (1 - cos(z)) / z
Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta. integral x^2(x^3+3)^12 d x
Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta. integral cos (1-x) d x