Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta. integral x^2(x^3+3)^12 d x

Passo 1

Beleza, você tem que resolver a integral indefinida . Vamos usar técnicas de substituição para chegar na resposta. Para isso, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando , uma boa escolha é deixar . Isso porque a derivada de em relação a vai nos ajudar a simplificar o termo que já está na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x^2 dx = du3 em termos de . Da equação anterior, temos:

Passo 5

Substituindo integral x^2(x^3+3)^12 dx = integral (u)^12 cdot du3 = 13 integral u^12 du e na integral original, ficamos com:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^12 du = 23 u^32 + C :
13 cdot 23 u^32 + C = 29 u^32 + C
Então, substituindo de volta,

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
integral x^2(x^3+3)^12 dx = 29(x^3 + 3)^32 + C
Onde é a constante de integração.

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