Calcule a área da superfície do cone definido por
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície de um cone definido pela função
dentro da região
que é um círculo com raio 3 (
). Para isso, vamos usar cálculo de superfícies, especificamente a fórmula para a área de uma superfície definida por uma função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície de uma função
. A fórmula é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, elevar ao quadrado, somar com 1, tirar a raiz quadrada e integrar sobre a região
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, vamos elevar essas derivadas ao quadrado:
Somando elas:
Passo 5
Substituindo na fórmula da área:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 6
A integral dupla
representa a área da região
. Como
é um círculo de raio 3, a área é:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pela constante
:
Resposta
A área da superfície do cone é
.