Calcule a área da superfície do cone definido por z = raiz(x^2 + y^2), com R: x^2 + y^2 <= 9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície de um cone definido pela função dentro da região que é um círculo com raio 3 ( ). Para isso, vamos usar cálculo de superfícies, especificamente a fórmula para a área de uma superfície definida por uma função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície de uma função . A fórmula é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , elevar ao quadrado, somar com 1, tirar a raiz quadrada e integrar sobre a região .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos elevar essas derivadas ao quadrado:
Somando elas:

Passo 5

Substituindo na fórmula da área:
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 6

A integral dupla representa a área da região . Como é um círculo de raio 3, a área é:
Á

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pela constante :

Resposta

A área da superfície do cone é .

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