(a) Calcule a área da superfície gerada pela rotação de y = x^3, 1 <= x <= 2, ao redor do eixo x. (resposta (pi / 27) * (145^(3/2) - 10^(3/2)) )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva no intervalo de até ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo de áreas de superfície de superfícies de revolução, que é um conceito da Cálculo Diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a área da superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor do eixo . A fórmula é:
Aqui:
  • é a área da superfície.
  • e são os limites de integração (no nosso caso, 1 e 2).
  • é a função que está sendo rotacionada.
  • é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar os componentes da nossa função:
  • Calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da área da superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar:
Então, derivando em relação a :

Passo 6

Substituindo e na integral:
Os cancelam:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral de :
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Substituindo nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, substituímos esses valores na expressão da área:

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva no intervalo de a ao redor do eixo é:

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