(a) Calcule a área da superfície gerada pela rotação de , ao redor do eixo . (resposta )
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva no intervalo de até ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo de áreas de superfície de superfícies de revolução, que é um conceito da Cálculo Diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a área da superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor do eixo . A fórmula é:
Aqui:
é a área da superfície.
e são os limites de integração (no nosso caso, 1 e 2).
é a função que está sendo rotacionada.
é a derivada de em relação a .
Passo 3
Vamos identificar os componentes da nossa função:
Calculamos a derivada de em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos e na fórmula da área da superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar:
Então, derivando em relação a :
Passo 6
Substituindo e na integral:
Os cancelam:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral de :
Então, substituindo de volta:
Passo 8
Substituindo nos limites de integração:
Para :
Para :
Passo 9
Agora, substituímos esses valores na expressão da área:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva no intervalo de a ao redor do eixo é: