(a) Calcule a área da superfície gerada pela rotação de , ao redor do eixo . (resposta )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva no intervalo de até ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo de áreas de superfície de superfícies de revolução, que é um conceito da Cálculo Diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a área da superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor do eixo . A fórmula é:
Aqui:
  • é a área da superfície.
  • e são os limites de integração (no nosso caso, 1 e 2).
  • é a função que está sendo rotacionada.
  • é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar os componentes da nossa função:
  • Calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da área da superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar:
Então, derivando em relação a :

Passo 6

Substituindo e na integral:
Os cancelam:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral de :
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Substituindo nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, substituímos esses valores na expressão da área:

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva no intervalo de a ao redor do eixo é:

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(d) Calcule o volume do sólido gerado quando a região limitada por , e pela reta é girada ao redor do eixo . (resposta )
(a) Calcule a área delimitada pela curva , e . (resposta )
(b) Calcule a área da região entre as curvas e para . (resposta )
Resolva cada inequação em .
55. (a)