(b) Calcule a área da região entre as curvas y = -x^2 + 6 e y = 3 x^2 - 8 para x em [-1, 1]. (resposta 76 / 3 )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas curvas, e , e precisa encontrar a área da região que fica entre elas no intervalo de de -1 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual das duas curvas está por cima no intervalo dado. Isso é importante porque a área é a diferença entre a função de cima e a de baixo. Vamos escolher alguns valores de dentro de -1 a 1 e comparar os valores de .
Por exemplo, quando :
Aqui, está acima de .

Passo 3

Agora que sabemos qual função está em cima, vamos montar a integral que representa a área entre as curvas. A fórmula geral para a área entre duas curvas e de a é:
Á
No nosso caso, e , e o intervalo é de -1 a 1. Então, a integral fica:
Á

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.

Passo 6

Aplicamos os limites de integração de -1 a 1:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então, a área é:

Resposta

A área da região entre as curvas no intervalo de a é .

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