(b) Calcule a área da região entre as curvas
e
para
. (resposta
)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas curvas,
e
, e precisa encontrar a área da região que fica entre elas no intervalo de
de -1 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual das duas curvas está por cima no intervalo dado. Isso é importante porque a área é a diferença entre a função de cima e a de baixo. Vamos escolher alguns valores de
dentro de -1 a 1 e comparar os valores de
.
Por exemplo, quando
:
Aqui,
está acima de
.
Passo 3
Agora que sabemos qual função está em cima, vamos montar a integral que representa a área entre as curvas. A fórmula geral para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
e
, e o intervalo é de -1 a 1. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.
Passo 6
Aplicamos os limites de integração de -1 a 1:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Então, a área é:
Resposta
A área da região entre as curvas no intervalo de
a
é
.
Exercícios relacionados
(a) Calcule a área da superfície gerada pela rotação de
, ao redor do eixo
. (resposta
)
(d) Calcule o volume do sólido gerado quando a região limitada por
, e pela reta
é girada ao redor do eixo
. (resposta
)
Resolva cada inequação em
.
55. (a)
55. (a)
Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se as séries abaixo é convergente ou não.
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