Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , do gráfico da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada quando o gráfico da função é girado em torno do eixo , no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo integrais para determinar áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma função em torno do eixo . A fórmula é:
Aqui, é a função que está sendo girada, é a derivada de , e e são os limites do intervalo.
Passo 3
Vamos identificar cada parte da fórmula com os dados do nosso problema:
Os limites de integração são de até
Agora, precisamos calcular a derivada de .
Passo 4
Calculando a derivada de :
Passo 5
Agora, vamos substituir e na fórmula da área:
Passo 6
Vamos simplificar dentro da raiz:
Perceba que , mas podemos continuar com a expressão simplificada.
Passo 7
Agora, a integral fica:
Passo 8
Observamos que , então a raiz simplifica para:
Passo 9
Substituindo de volta na integral:
Passo 10
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 11
Somando os resultados das integrais:
Passo 12
Multiplicando pela constante fora da integral:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação do gráfico de em torno do eixo , de a , é: