Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede a área da superfície gerada ao girar o gráfico da função
em torno do eixo
, onde
e
. O conteúdo principal aqui é o cálculo de áreas de superfícies de revolução usando integrais. Vamos precisar usar a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma função ao redor do eixo
.
Passo 2
Primeiro, lembrando a fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo
:
Aqui,
é a derivada da função
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula da área:
Passo 5
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
A integral de
de
a
é simplesmente
:
Resposta
A área da superfície gerada é
.
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tais que
e
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, para todo
.