Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , do gráfico da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede a área da superfície gerada ao girar o gráfico da função em torno do eixo , onde e . O conteúdo principal aqui é o cálculo de áreas de superfícies de revolução usando integrais. Vamos precisar usar a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma função ao redor do eixo .

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo :
Aqui, é a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula da área:

Passo 5

Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:

Passo 7

A integral de de a é simplesmente :

Resposta

A área da superfície gerada é .

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