Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que é formado quando a região dos pares
, onde
e
, é girada ao redor do eixo
. Vamos precisar usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos ou das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. Temos
variando de
a
e
indo de
até
. Quando giramos essa região em torno do eixo
, formamos um sólido com uma certa forma.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, podemos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando giramos em torno do eixo
, como é o nosso caso. A ideia é integrar cilindros infinitesimais ao longo do eixo
.
Passo 4
A fórmula do volume pelo método das cascas cilíndricas é:
Aqui,
é a função que descreve a altura da casca, que no nosso caso é
, e
e
são os limites de
, que são
e
.
Passo 5
Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.
Passo 6
Para resolver a integral
, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher:
-
\Rightarrow -
\Rightarrow
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Agora, voltando à nossa integral original:
Vamos calcular isso nos limites de
a
.
Passo 9
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.
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, do gráfico da função dada.
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Mostre os seguintes itens abaixo
, para todo
.
Calcular aproximadamente