Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que é formado quando a região dos pares , onde e , é girada ao redor do eixo . Vamos precisar usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos ou das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. Temos variando de a e indo de até . Quando giramos essa região em torno do eixo , formamos um sólido com uma certa forma.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, podemos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando giramos em torno do eixo , como é o nosso caso. A ideia é integrar cilindros infinitesimais ao longo do eixo .

Passo 4

A fórmula do volume pelo método das cascas cilíndricas é:
Aqui, é a função que descreve a altura da casca, que no nosso caso é , e e são os limites de , que são e .

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.

Passo 6

Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher:
  • \Rightarrow
  • \Rightarrow

Passo 7

Aplicando a fórmula:

Passo 8

Agora, voltando à nossa integral original:
Vamos calcular isso nos limites de a .

Passo 9

Calculando em :
Calculando em :

Passo 10

Subtraindo os valores:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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