Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região ao redor do eixo . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas). Vamos precisar entender como montar a integral para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. Temos e . Isso significa que estamos olhando para a área entre as curvas (o eixo ) e , para entre 1 e 2.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , o método dos cilindros é uma boa escolha. Esse método envolve calcular volumes de cilindros infinitesimais empilhados ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde é a distância do cilindro ao eixo de rotação e é a altura do cilindro.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Aqui, . Então, a integral fica:
Simplificando dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de 1 a 2:
Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido é .

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