Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região ao redor do eixo
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas). Vamos precisar entender como montar a integral para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. Temos
e
. Isso significa que estamos olhando para a área entre as curvas
(o eixo
) e
, para
entre 1 e 2.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, o método dos cilindros é uma boa escolha. Esse método envolve calcular volumes de cilindros infinitesimais empilhados ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde
é a distância do cilindro ao eixo de rotação e
é a altura do cilindro.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Aqui,
. Então, a integral fica:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de 1 a 2:
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
.
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, do gráfico da função dada.
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